Глава II. ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИЙ

1. Введение

Многие природные объекты и процессы могут быть представлены с необходимой точностью с помощью традиционных математических объектов: отрезков прямых, дуг окружностей, элементарных функций и т.д. Этот аппарат эффективен при математической обработке гладких и кусочно-гладких зависимостей и объектов и мало приспособлен для изображения объектов сложной структуры, таких как береговая линия, форма облака, фронт вытеснения жидкости другой менее вязкой жидкостью, поверхность порошков (см. [70]), распределение трещин в металле, поверхность гористых регионов Земли и т.д. Названные объекты обладают, по крайней мере, двумя общими свойствами. Во-первых, они имеют взаимно подобные части различных, том числе, сколь угодно малых размеров. Если, скажем, часть отрезка береговой линии увеличить в 10 раз, то получится линия, похожая по структуре на исходную, если часть уже увеличенной части береговой линии увеличить в 10 раз, то снова получится кривая, столь же изломанная и той же структуры, что и исходная, и т.д. Другими словами, рассматривая изображение береговой линии под микроскопом сколь угодно высокого разрешения, мы будем наблюдать примерно одну и ту же картину. Иначе обстоит дело в случае полиномиальной кривой: при последовательном выполнении указанных операций увеличения мы получим последовательность распрямляющихся кривых, сходящуюся к прямолинейному отрезку. Свойство самоподобия наглядно демонстрируется на примере канторового совершенного множества К, которое строится с помощью следующего бесконечного процесса: выбросим из отрезка [0,1] центральный

интервал далее, из каждого оставшегося отрезка выбросим центральный интервал длины из каждого оставшегося отрезка длины выбросим центральный интервал длины и т.д. Канторово множество К образует объединение всех точек, которые не будут выброшены ни на каком из шагов изложенного процесса. Нетрудно видеть, часть множества К, попавшая на каждый оставшийся после очередного выбрасывания отрезок, подобна всему множеству, а в данном случае можно сказать точнее — является образом множества К при сжимающем аффинном преобразовании. Во-вторых, хаусдорфова размерность каждого из перечисленных множеств, определяемая как предел (если этот предел существует)

где наименьшее число точек -сети множества, больше его топологической размерности и может быть дробным числом. Например, хаусдорфова размерность канторового совершенного множества равна .

Не имея строгих определений, будем в дальнейшем говорить, что множества, обладающие указанными выше свойствами, имеют фрактальную структуру (или являются фракталами). Этот термин будет использоваться и для функции, если ее график имеет фрактальную структуру. Способы обработки фрактальных множеств и функций опираются на метод неподвижной точки.