6. Аппроксимация полиномами в метрике, связанной с задачей навигации

Рассмотрим функцию где некоторое ограниченное замкнутое множество с мерой. Пусть задана область ("область визирования"), и норма функции определяется следующим образом:

Потребность изучения аппроксимации функций в подобной норме возникает в связи с так называемой задачей навигации по геофизическим полям. Здесь приводится лишь краткая постановка задачи. Задача навигации подробно рассматривается в гл. III, § 1, § 2. Пусть автоматический летательный аппарат движется с постоянным вектором скорости над районом высота земной поверхности (или иная функция, характеризующая район и информация о функции хранится в бортовом компьютере в виде аппроксимирующего "полинома" Находясь над некоторой точкой координаты которой известны с погрешностью, аппарат измеряет значение на малой области т.е. снимает фрагмент

функции Задача навигации (привязки) есть задача определения координат точки по функции ("полиному" ) и фрагменту Она сводится к следующей задаче:

где

некоторая норма. Если тогда евклидово расстояние есть ошибка привязки. Ошибка привязки оценивается (см. гл. III, п. 1.2) сверху через величину уклонения полинома от функции в норме (6.1). Этим фактом обосновывается интерес к задаче о наилучшем приближении в норме

В данном параграфе даются необходимые и достаточные условия на полином наилучшего приближения в случае, когда есть Ьр-норма.

Пусть есть линейная оболочка линейно независимых функций из Прежде чем перейти к доказательству основных утверждений заметим, что так как конечномерное подпространство, то для любой функции существует по крайней мере один полином наилучшего приближения. Легко показать, что норма при является строго выпуклой как максимум строго выпуклых функций, а значит, (см., напр., гл. I, п. 2.2) полином наилучшего приближения единственный.

Обозначим

В этом параграфе под полиномом наилучшего приближения понимается полином наилучшего приближения относительно нормы

Теорема 1 (П. В. Борисов). Пусть Полином

является полиномом наилучшего приближения для тогда и только тогда, когда существуют точки и положительные числа

такие, что выполняются равенства

Доказательство. Полином является полиномом наилучшего приближения для тогда и только тогда, когда минимизирует функционал

где

Заметим, что а значит, и выпуклые функционалы. В силу теоремы (Ферма) о минимуме выпуклого функционала (см., напр., [58], гл. 2, § 2, с. 142), для того чтобы был полиномом наилучшего приближения для необходимо и достаточно, чтобы субдифференциал функционала в точке содержал нуль. Субдифференциал выражается формулой (см., напр., [58], гл. 2, § 3, с. 87)

где

Учитывая, что

получаем представление (6.2). В силу теоремы Каратеодори (см., напр., гл. I, п. 5.2) можно считать, что не превосходит Теорема доказана.

Теперь сформулируем теорему, которая является аналогом теоремы Колмогорова о характеризации полинома наилучшего приближения в С (см. гл. I, п. 5.2)

Теорема 2. Пусть Для того чтобы полином был полиномом наилучшего приближения для необходимо и достаточно, чтобы не существовало полинома такого, что

Эта теорема является непосредственным следствием теоремы о минимаксе (см. [25], гл. 6, § 2, с. 240). Используя результаты, полученные Крипке, Ривлином [105] (см. § 4 этой главы), можно сформулировать подобную теорему для случая

Обозначим через множество нулей функции будем также полагать, что функция обращается в нуль на множестве

Теорема 3 (П.В. Борисов). Пусть Для того чтобы полином был полиномом наилучшего приближения для необходимо и достаточно, чтобы для любого полинома выполнялось следующее соотношение

Доказательство. Достаточно доказать следующее равенство для производной по направлению

при откуда без труда получается утверждение теоремы. Будем пользоваться известным соотношением для (см. [105],

При выпишем оценки для учитывая, что

Так как множество компактно, то в предыдущем неравенстве заменили на Дословно повторяя доказательство, приведенное в [105], можно показать, что для любого положительного существует такое, что для любого выполняется следующее соотношение

(см. [105], гл. 5, § 2, с. 234 ). В итоге получим следующее неравенство

Теперь оценим с другой стороны:

Объединяя эти оценки, получим требуемое. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть Для того чтобы полином был полиномом наилучшего приближения для необходимо и достаточно, чтобы нашлись точки необязательно различные, такие, что не существует полинома для которого

Доказательство. Покажем, что условие несовместности системы линейных неравенств (6.3) и необходимые и достаточные условия того, что полином является наилучшим, эквивалентны. Обозначим Отсутствие с условием (6.3) при означает, что и это влечет (6.2). Пусть не все совпадают. Записав в новых обозначениях условие того, что не существует полинома удовлетворяющего неравенствам

для некоторого натурального получим

Далее будем отождествлять и набор коэффициентов Запишем необходимые и достаточные условия несовместности системы линейных неравенств (6.4) относительно сформулированные в теореме Александрова-Фань-Цзи (см., напр., [73], гл, 4, § 1, с. 282), учитывая, что система (6.4) однородная: найдутся положительные числа такие, что

В силу произвольности будем иметь

Поскольку все А положительные, то равенства (6.2) теоремы 1 спра ведливы. Таким образом, условие несовместности системы линейных неравенств (6,4) и необходимое и достаточное условие того, что полином является наилучшим, эквивалентны. Тот факт, что не превосходит , доказывает теорему.