5. Наилучшее приближение полиномами в пространстве непрерывных функций

Пусть компакт, пространство непрерывных функций, заданных на с нормой

линейно независимая система функций из X и

— наилучшее приближение функции подпространством . В этом параграфе предполагается, что содержит больше точек, чем число функций в системе. Элементы из будем называть полиномами. Полином наилучшего приближения для любой существует по следствию 1 из п. 2.1.

5.1. О единственности полинома наилучшего приближения

Приведем условие на при котором будет чебышевским подпространством.

Определение. Говорят, что система функций удовлетворяет условию Хаара, если любой нетривиальный полином из имеет на не более различных нулей.

Условие Хаара эквивалентно тому, что для любого набора различных точек определитель

отличен от нуля.

Теорема 1 (Хаар). Подпространство является чебышевским тогда и только тогда, когда система удовлетворяет условию Хаара.

Необходимость. Предположим, что условие Хаара не выполняется, тогда для некоторого набора попарно различных точек Поэтому найдутся такие, что для выполняются условия

и, кроме того,

а тогда для любого

Построим функцию для которой полином наилучшего приближения не единственный.

Найдем число для которого евклидовы шары попарно не пересекаются, и введем функцию

Имеем Положим

По условию Покажем, что при всех является полиномом наилучшего приближения для В самом деле, для любого

т.к. , ввиду (5.3), для некоторого если для всех Вместе с тем, учитывая неравенство получим

Показано, что подпространство не является чебышевским. Перед тем, как доказать достаточность, установим, что справедлива

Лемма 1. Если удовлетворяет условию Хаара, полипом наилучшего приближения для то существует набор из точек, для которого

Доказательство. Предположим, что нашлось только точек удовлетворяющих равенствам (5.4) Дополним этот набор до произвольными точками чтобы были попарно различны и Поскольку то существует многочлен для которого По непрерывности при некоторых будет

Найдется такое, что

При удовлетворяющем неравенствам на будем иметь

и это противоречит тому, что полином наилучшего приближения.

Достаточность. Продолжая доказательство теоремы, допустим существование двух различных полиномов наилучшего приближения Тогда также является таковым и по доказанному для некоторого набора различных точек выполняются равенства Для имеем при

Поэтому а ввиду будет значит, и по условию Хаара Противоречие. Теорема доказана.

Приведем примеры систем функций, удовлетворяющих условию Хаара:

1) - компакт из R.

2) — компакт из где функция раз непрерывно дифференцируема и на

3) - компакт из .

4) — компакт из

5) если удовлетворяет условию Хаара на и то система также удовлетворяет условию Хаара.

Задача. Система алгебраических многочленов двух переменных не удовлетворяет условию Хаара на квадрате Дать способ построения сеток из точек таких, что и система многочленов удовлетворяет условию Хаара на