11. Приближение экспоненциальными суммами

11.1. Экспоненциальная интерполяция

В этом параграфе кратко изложен метод Прони (см. [45]) интерполяции функции, заданной на равномерной сетке с помощью сумм вида

где искомые величины. Этот метод перенесен [39] (см. п. 2) на случай приближения суммами более сложного вида. Любую равномерную сетку можно свести к целочисленной с помощью аффинного преобразования координат при котором вид суммы (11.1) не меняется. Поэтому в дальнейшем можно считать, что

Сначала сделаем следующее предположение: такова, что существуют

при которых сумма интерполирует в узлах т.е.

Пусть многочлен

имеет нулями числа т.е.

Тогда для каждого имеет место равенство

Теперь поведем рассуждение в обратном порядке. Считая неизвестными решим систему (11.3)

Далее отыщем нули многочлена

и по ним показатели из соотношений По известным найдем коэффициенты решая систему уравнений (11.2)

При сделанном предположении (11.2) системы (11.4) и (11.6) имеют решение и корни многочлена вещественные положительные и различные. На практике, когда не известно, существует ли интерполяционная сумма (11.2), можно поступить следующим образом. Поскольку система (11.4) может не иметь решения, отыскиваем по методу наименьших квадратов:

Затем находим вещественные корни многочлена решая задачу

находим коэффициенты суммы

аппроксимирующей функцию