1.2. Характеристика информативности функции

Задача Навигации не корректна по Адамару [69] как задача обращения отображения не являющегося, вообще говоря, взаимно однозначным. Понятно, что по плоскому рельефу привязаться трудно или невозможно, а для периодической функции ошибка навигации может быть равна нескольким периодам. Нижняя грань (1.3), к вычислению которой сводится задача навигации, в идеальном случае при точно заданных равна нулю, но функция по переменной может быть многоэкстремальной. Задача навигации осложняется тем, что на практике любой алгоритм минимизации позволяет получить в лучшем случае малую, но не нулевую величину функция задается, а фрагмент замеряется с погрешностями, поэтому найденное может располагаться далеко от искомого

Функцию естественно назвать информативной, если малость величины влечет малость расстояния Информативность функции можно характеризовать посредством функции

которую будем называть модулем информативности. Класс информативных функций, т.е. таких, что

обозначим через Непосредственно из определения следует оценка ошибки привязки

Для оценки ошибки привязки по аппроксимирующей функции и фрагменту (см. п. 1.3), снятому с ошибкой, определим норму на пространстве рассматриваемых функций

Проверка справедливости аксиом нормы для (1.5) не составляет труда.

Пусть фрагмент поля функция, полученная в результате приближенного измерения значений функция, аппроксимирующая на поле Привязка осуществляется в результате решения задачи

Теорема 1. Если

Доказательство. Имеем

Поскольку то

Итак,

откуда, учитывая определение (1.4) модуля информативности, получаем (1.7).

В связи с теоремой 1 появляется интерес к

— изучению поведения модуля информативности в нуле,

— задаче о наилучшем приближении по норме (1.5) (см. гл. I, § 6). Модуль информативности — неубывающая функция. Если строго монотонна на чебышевская норма, то модуль непрерывности обратной функции Приведем несколько случаев, когда можно оценить сверху. Пусть чебышевская норма.

Предложение 1. Если тогда

и следовательно, .

Доказательство. Имеем

По теореме Чебышева (гл. I, п. 5.2)

Отсюда следует (1.8). Предложение доказано.

Предложение 2 (Нятин А.В.). Если на

где

Доказательство. В самом деле, при

а случай сводится к случаю следующим образом:

Предложение доказано.

Рассмотрим случай многочленов двух переменных степени

заданных на квадрате Для имеем

где

многочлен степени не более Обозначим

Замена переменных дает

Поскольку коэффициенты из формулы (1.11) зависят от линейно, то далее,

и, значит, (см. (1.10)) для

Из (1.12) следует

Предложение 3. Если многочлен рп(х,у) таков, что ни при каком коэффициенты не обращаются в нуль все одновременно, то и

Замечание. В случае величина может быть найдена в явном виде. Имеем

и, значит, при