2.2. Дифференцирование ошибки привязки

Поиск функции наилучшей привязки может осуществляться минимизацией функционала (2.3) посредстшом одного из вариантов

алгоритма наискорейшего спуска. Этот алгоритм основан на операции дифференцирования минимизируемого функционала. Функционал (2.4) определяется через максимум и По известной теореме о дифференцировании функции максимума [25] (см. ниже теорему 1) операция дифференцирования функционала (2.4) сводится к вычислению производной по "переменной" функционала

а значит, отображения для

В дальнейшем предполагается, что выполняется условие единственности значения в окрестности точки для близких к

Е) Существует такое, что для любой функции найдется единственная точка для которой

Далее будем обозначать

Отображение есть отображение из Если оно дифференцируемо, то его производная V является линейным отображением из V в и определяется своими компонентами

В рассматриваемых ниже случаях величина непрерывна по поэтому отображение

полунепрерывно сверху. Если при то в силу полунепрерывности сверху отображения (2.5) будет

Далее понадобится следующий вариант предложения В.Ф. Демьянова о дифференцируемости функции максимума, доказательство которого проводится по аналогии с [25] (стр. 71),

Теорема 1. Пусть открытое множество, V — компакт, вещественная функция имеет правую производную по и на , которая непрерывна по при тогда функция

имеет правую производную на и

Далее измеримое множество,

Будем предполагать, что функции из V имеют непрерывные частные производные второго порядка, а знаменатели в (2.6), (2.11) отличны от нуля. В следующей теореме точку считаем фиксированной.

Теорема 2. Пусть отображение удовлетворяет условию единственности в окрестности "точки" Это отображение дифференцируемо по Гато (по Фреше в случае конечномерного V) в "точке" и компоненты производной выражаются равенствами

Доказательство. Рассматриваемая норма дифференцируема. Поскольку точка доставляет минимум по функции , то

и, значит,

где

При функция дифференцируема по представим ее в окрестности точки в виде

где при и при После подстановки выражения (2.8) в (2.7) и учета равенства

при будем иметь

Используя непрерывность частных производных функций из (2.9) получаем

Для завершения доказательства (2.6) осталось заметить, что

Формулы (2.6) легко переносятся на случай вектор-функций с нормой

Теорема 3. Если компоненты функций (из имеют непрерывные вторые частные производные, а отображение удовлетворяет условию единственности то оно дифференцируемо по Гато в точке и компоненты ее производной выражаются равенствами

С помощью теорем 2, 3 и 1 можно вычислить производную функционала в "точке" по "направлению"

Следующая теорема относится к общему случаю нормы (2.10).

Теорема 4. В условиях теоремы 3 для любой существует производная (2.12) и

где вычисляются