3.2. Компактные фракталы относительно метрики Хаусдорфа (IFS)

Пространство компактов из с хаусдорфовой метрикой образует (см., напр., [19], § полное метрическое пространство. Поэтому к нему применимы результаты, изложенные в § 2. В настоящем разделе изучаются аттракторы отображений следующего вида [102]. Пусть задан набор сжимающих отображений коэффициент сжатия отображения. Отображение задается соотношением

Набор сжимающих отображений обозначают как IFS (Iterated Functions System).

Коэффициент сжатия отображения (3.5) удовлетворяет неравенству

В самом деле, для имеем

Далее, перейдя к нижней грани по в неравенстве

получим

и после перехода в последнем соотношении к верхней грани по будем иметь

Аналогично устанавливается неравенство

откуда

Из (3.7) и (3.8) следует неравенство (3.6). Соотношение (3.6) позволяет утверждать, что если сжимающие отображения, то отображение также является сжимающим. Множество для которого называется инвариантным для

Важный частный случай — случай нормированного пространства X и аффинных операторов

где линейный ограниченный оператор, Коэффициент сжатия оператора в этом случае совпадает с нормой оператора

Отображение задается набором отображений, совокупность всех образует линейное пространство с нормой

множеству отображений в этом пространстве соответствует шар радиуса

Пример 1. В случае инвариантным множеством является канторово совершенное множество.

Остановимся подробнее на задаче (2.8) минимизации функционала

для фиксированного множества Пусть

Будем говорить, что поправка задает направление спуска (убывания) в "точке" для функционала если при всех достаточно малых выполняется неравенство

Для множеств будем обозначать через

множество точек максимального уклонения и для проекции точки х на множество использовать ранее введенное обозначение

Следующая теорема устанавливается в предположении, что -пространство со скалярным произведением. В этом случае справедливо (см. гл. 1, п. 3.2)

Предложение 1. Если то существует такое, что

Это предложение понадобится при доказательстве теоремы.

Теорема 1. Поправка задает в точке направление спуска для функционала если выполняются условия:

1) для любого существуют такие, что

2) для любых таких, что множество является одноточечным и

Доказательство проводится по схеме доказательства теоремы Колмогорова (гл. 1, п. 5.2): условия 1 и 2 теоремы позволяют подобрать так, что поправка позволяет уменьшить отклонение множеств в точках максимального уклонения, возможно, с незначительным увеличением отклонения в остальных точках. Приступая к доказательству, отметим, что множество

компактно. Для любого найдется такое, что

где -окрестность множества В, и, в силу непрерывной зависимости множества от для некоторого будем иметь

при Пользуясь тем, что множество одноэлементно (см. условие 1 теоремы), множество компактно, а функция расстояния от х до множества непрерывна по х (гл. I, п. 2.3), легко показать, что метрическая проекция непрерывна в точке х. В самом деле, если бы нашлась последовательность для которой существуют то, выделив из сходящуюся подпоследовательность для мы имели бы равенство

и, значит, включение что противоречит одноэлементности множества Итак, для любого найдется такое, что

Ввиду непрерывности скалярного произведения и неравенства (3.9) можно подобрать числа так, что

С помощью предложения 1 устанавливаем существование числа при котором выполняется неравенство

при Аналогичные рассуждения показывают, что для (см. условие 2 теоремы) найдется число такое, что

Поскольку множество В компактно, то найдется не зависящее ни от ни от такое, что неравенства (3.12), (3.13) выполняются при . Таким образом, при справедливы соотношения (3.11)-(3.13) и, значит,

Теорема доказана.