3.5. Классические ортонормированные системы

Пусть интегрируемая положительная на отрезке весовая функция, пространство измеримых функций для которых

и

— скалярное произведение в Система функций из называется ортонормальной с весом системой функций на отрезке если где символ Кронекера.

Тригонометрическая система

- ортонормальна на с весом

Каждая из систем

ортонормальна на с весом Система функций Радемахера

ортонормальна на отрезке [0,1] с весом

Широкое применение находят ортонормированные системы, составленные из алгебраических многочленов. Система степенных функций

линейно независима. Интегрируемой положительной на отрезке весовой функции соответствует единственная (см. теор. 5, п. 3.3.) ортонормальная с весом у система многочленов

Перечислим основные из классических ортонормальных систем многочленов.

Многочлены Чебышева первого рода

ортогональны на отрезке с весовой функцией

Они удовлетворяют рекуррентному соотношению

с помощью которого, с учетом того, что последовательно вычисляются все в явном виде:

Ортонормальные многочлены Чебышева первого рода выражаются формулами

Многочлены Чебышева второго рода

ортогональны на отрезке с весом

удовлетворяют соотношению

с помощью которого, с учетом того, что вычисляются все многочлены

Они связаны с многочленами (3.11) равенством

Ортонормальные многочлены Чебышева второго рода имеют вид

Многочлены Лежандра

ортогональны на отрезке с весом Из этого представления следует

Ортонормальные многочлены задаются формулой

Многочлены Чебышева-Эрмита

ортогональны на оси с весовой функцией Многочлены младших степеней имеют вид:

Ортонормальная система задается равенством

Многочлены Чебышева-Лаггера

ортогональны на полуоси с весом Имеем

Ортонормальная система задается формулой

где гамма-функция. Многочлены Якоби

ортогональны на с весовой функцией

где Ортонормальная система задается следующим образом

Общие свойства ортогональных систем многочленов подробно изложены в [67]. Аппроксимативные и асимптотические свойства ортогональных многочленов с произвольными весами исследовались В.М. Бадковым [4]-[6]. При обработке численных экспериментальных данных могут оказаться полезными ортогональные системы на сеточных множествах [75]. Выбор подходящей системы ортогональных многочленов определяется спецификой решаемой прикладной задачи.