6. Дробно-рациональная аппроксимация в задачах тепло-массообмена

6.1. Введение

Примером эффективного использования рациональных дробей в качестве аппроксимирующих функций являются формулы, дающие аналитическое представление для интегро-экспоненциальных функций и модифицированных функций Бесселя третьего рода Специальные функции

и

входят в уравнения переноса энергии излучений различной природы, рассматриваемые в задачах нейтронной физики, астрофизики, оптики атмосферы, теплотехники и других разделах науки.

В задачах тепло-массообмена с использованием этих функций вычисляются степени черноты объемов, угловые коэффициенты, коэффициенты облученности и другие безразмерные лучистые потоки.

Приведем примеры использования функций (см., напр., [26, 27]):

— обобщенный угловой коэффициент для граней бесконечного параллелепипеда с поглощающей средой выражается:

в случае перпендикулярных граней в виде

где

в случае параллельных граней формулой

где угловой коэффициент диатермальной среды, и — к ширина полос, Я — расстояние между ними, к — коэффициент ослабления;

— локальный угловой коэффициент для поверхности бесконечного полуцилиндра во всех четырех квадрантах описывается формулой

Для вычисления значений можно использовать соответствующие таблицы, их можно вычислять с помощью рядов и квадратур, что достаточно трудоемко, можно определять их с помощью промежуточных функций которые, в свою очередь, выражаются через табулированные функции Бесселя второго рода от мнимого аргумента и интегралы от них. В современных справочниках по специальным функциям (см., напр., [62]) в качестве формул для вычисления значений функций предлагаются ряды: для "малых" х это некоторые степенные ряды, для "больших" — асимптотические ряды, представленные в виде бесконечной непрерывной дроби, причем, в силу того, что разложение в ряд для функций с имеет достаточно громоздкий вид, предлагают получать значения через рекуррентные соотношения, используя значения функций при Следует отметить, что при использовании современных ЭВМ громоздкость формул во многих случаях не является обременительной, однако неудобства при работе с такими формулами могут сохраняться при использовании персональных

компьютеров средней мощности, или, возможно, когда предъявляются жесткие требования к времени вычисления значений спецфункции в точке.

При решении конкретных задач, руководствуясь требованиями к точности, естественным является желание упростить вычисления, получив для функций достаточно легко вычислимые аналитические представления на всем отрезке аргумента, причем такие, чтобы максимальная погрешность не превышала некоторой наперед заданной малой величины. Для получения эффективного представления следует учитывать свойства приближаемых функций, их особенности. Например, если удается описать эти особенности некоторой непрерывной достаточно простой в вычислительном плане функцией которая входит как множитель в приближенное представление исходной функции тогда задача сводится к аппроксимации более простой (в сравнении с функции