4. Сходимость алгоритмов

4.1. Сходимость алгоритма для задачи с фиксированными моментами встречи

Здесь равномерно выпуклое пространство.

Лемма 1. Пусть замкнутое выпуклое множество в равномерно выпуклом пространстве

тогда существует константа где такая, что

Доказательство. Покажем, что достаточно рассматривать случай, когда гиперплоскость. Из (3.1) следует:

это означает, что прямая является опорной к множеству Существует гиперплоскость, содержащая и опорная к Далее при доказательстве леммы под будем понимать эту гиперплоскость.

Пусть ближайшая в точка для точка на отрезке для которой В силу (3.1) такая точка существует. Имеем поэтому

Из равномерной выпуклости пространства следует, что при

Поскольку

то

точка минимума выпуклого функционала то

Далее,

и с учетом (3.3) и (3.4) получаем

откуда

где

Лемма доказана.

Предположим теперь, что жесткое звено задачи (1.5), и последовательность ломаных построена в соответствии с

Ввиду следующей теоремы 2 мерой близости ломаной к решению задачи (1.5) на звене может служить величина

Теорема 1. Пусть последовательность ломаных построена с помощью алгоритма Существует константа для которой

Доказательство. Рассмотрим случай четного к (при построении номера перебираем от Как нетрудно видеть,

и поэтому

Пусть номера таковы, что

В случае первое (соответственно последнее) неравенство из (4.7) следует отбросить. Ввиду (4.5) найдутся номера такие, что

Имеем

Из леммы 1 следует (можно считать, что

т. е.

Отсюда с учетом (4.8) получаем

Поскольку (4.9) выполняется для любого отрезка монотонного возрастания последовательности то

Аналогично устанавливается, что для следующего шага алгоритма

Из последних двух неравенств и (4.6) следует

Теорема доказана.

В соответствии с теоремой 1 в качестве меры близости ломаной построенной с помощью алгоритма к решению задачи (1.5) можно взять величину

где сумма взята по всем жестким звеньям нулевого ранга.

Через будем обозначать совокупность наилучших ломаных для задачи (1.5).

Следствие 1. Существуют числа такие, что если последовательность построена с помощью алгоритма то