11.2. Приближение экспоненциальными суммами общего вида

Пусть функция одного переменного задана значениями на равномерной сетке Обозначим через множество всех функций являющихся

решениями однородных линейных разностных уравнений порядка не выше с постоянными коэффициентами:

где

натуральные, вещественные числа, причем под полиномом степени —1 следует понимать тождественный нуль. Опишем схему алгоритма. Будем считать, что После замены переменных получим новую сетку Пусть

— разностное уравнение, которому удовлетворяют заданные значения Коэффициенты можно определить, решая систему (11.8). Пусть далее корни характеристического уравнения

соответствующего разностному уравнению (11.8). Тогда можно представить в виде

(см. [21], гл. V), где определяется следующим образом: корень встречается раз в последовательности Величины одновременно либо действительные, либо комплексные, причем каждой паре комплексных параметров соответствует пара комплексно-сопряженных параметров Учитывая это и принимая во внимание выполненную замену переменных, преобразуем (11.10) к виду (11.7), т.е.

где вещественные числа, определяется следующим образом:

Таким образом, для вычисления нелинейно входящих параметров в (11.7) достаточно знать корни уравнения (11.9). Коэффициенты в (11.7) можно определить, решая систему линейных уравнений

Изложенная схема рассчитана на случай На практике число часто бывает неизвестно, кроме того, значения могут быть заданы с погрешностью, т.е. Описанный алгоритм будем использовать и в этих случаях.

Рассмотрим подробнее некоторые части алгоритма. Для определения коэффициентов в (11.9) рассмотрим переопределенную систему линейных уравнений (11.8). Нетривиальное решение этой системы определяется с точностью до постоянного множителя, следовательно, необходимо какое-либо нормирующее условие, например, одно из следующих трех:

В указанных выше практических ситуациях система (11.8) вместе с одним из нормирующих условий обычно становится несовместной. Будем решать систему (11-8) с условием (11.14) по методу наименьших квадратов, т.е. находить

где

Задача (11.15) сводится к решению системы линейных уравнений

где При этом, если т.е. для любого существуют , такие, что

то такая же линейная зависимость имеет место и в (11.16):

Решение системы (11.16) находим с помощью жордановых исключений [32] с выбором главного элемента по столбцу, исключая каждый раз разрешающую строку из дальнейшего рассмотрения. Для выявления линейной зависимости (11.17) введем параметр Если при исключении переменной элементы столбца у оставшихся строк удовлетворяют условию

то переменную оставляем неисключенной.

После окончания процесса исключения вычисляем ранг матрицы полагая где число неисключенных переменных. В случае решаем задачу (11.15) заново с известным теперь значением Таким образом, получаем коэффициенты и вычисляем каким-либо способом корни полинома Представим в виде (11.11) с неизвестными коэффициентами

Для определения а, решаем систему (11.12) по методу наименьших квадратов

Таким образом, получаем приближенное представление вида (11.11).

Задачу экспоненциальной аппроксимации не всегда удается решить удовлетворительно. Это объясняется, в частности, тем, что малое изменение функции часто влечет большое изменение коэффициентов наилучшей экспоненциальной суммы. Если задана с погрешностью, то результат, следовательно, может сильно отличаться от истинного.