3.3. Построение элемента наилучшего приближения

Рассмотрим важный случай, когда есть подпространство из натянутое на линейно независимую систему элементов Подпространство К, ввиду конечномерности, является множеством существования, а поскольку строго выпукло, то К — чебышевское множество. Пусть Характеристическое свойство (3.2) элемента наилучшего приближения Для элемента принимает вид

После элементарных преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений

относительно коэффициентов Поскольку набор линейно независим, то определитель этой системы — определитель Грама, отличен от нуля и, значит, система имеет единственное решение.

Следует, однако, отметить, что при больших значениях система (3.3) может быть плохо обусловленной, и для численного решения надо использовать специальные методы (см., напр., [20]).

Определение. Система (конечная или счетная) элементов называется ортонормированной (или ортонормальной), если

Для числа называются коэффициентами Фурье, суммой Фурье элемента по системе

Из (3.3) следует, что если система ортонормирована, то для любого коэффициенты элемента наилучшего приближения х из подпространства есть коэффициенты Фурье элемента значит, справедлива

Теорема 3. Если — ортонормированная система в то для любого частичная сумма Фурье является элементом наилучшего приближения из для

Пусть — ортонормированная система из Отметим два важных факта:

если элемент представлен рядом акхк в норме пространства то коэффициенты Фурье,

если , то

Доказательство опирается на свойство непрерывности скалярного произведения:

Определение. Система элементов называется линейно независимой, если линейно независима любая ее конечная подсистема.

В следующей теореме

— определители Грама системы

Теорема 4. Если линейно независимая система элементов из то существует ормюнормальная система такая, что

Доказательство. Для

имеем

и Осталось, учитывая, что положить

Более того, справедлива

Теорема любой линейно независимой системы элементов существует единственная ортонормальная система элементов

такая, что

Доказательство. Заметим, что если задан набор из элементов, то любой элемент единственным образом представим в виде поскольку определитель системы уравнений

относительно неизвестных равен значит, отличен от нуля.

Доказательство проведем индукцией по Элемент определяется однозначно из условия Пусть уже определена ортонормальная система из элементов По предыдущей теореме существует хотя бы один элемент являющийся линейной комбинацией первых элементов, ортогональный каждому силу замечания, сделанного в начале доказательства, существует единственный набор коэффициентов такой, что

где Из условий ортогональности следует а условие и соотношение

вытекающее из условия линейной независимости исходной системы, и требование дают равенство Итак, элемент однозначно определяется по набору Теорема доказана.