7. Наилучшее приближение рациональными дробями в пространстве C[a, b]

7.1. Существование наилучшей дроби

В п. 2.1 показано, что для функции, заданной на сетке, может не быть рациональной дроби наилучшего приближения. Здесь приводится доказательство существования наилучшей дроби в пространстве при Далее обозначаем

Теорема 1. Для любой существует дробь наилучшего приближения т.е. такая, что

Доказательство. Выделим из последовательность дробей для которой Начиная с некоторого номера ко, и при будет поэтому

Пользуясь ограниченной компактностью множеств выберем подпоследовательность номеров (заново перенумеровав ее), для которой сходятся:

Если для будет и поскольку

то

Полином может иметь нули, Ради простоты предположим, что имеет один нуль. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть и Представим в виде Переходя к пределу при к в неравенстве (см. (7.1)), получим Отсюда где Для дроби где имеем

Ввиду (7.2) имеем и предельный переход в (7.2) при дает т.е. значит, дробь наилучшего приближения. В случае доказательство не меняется.