12. Всплески

12.1. Введение

Теория всплесков (wavelets) родилась в середине 1980-х годов на стыке нескольких дисциплин: теории функций, функционального анализа, обработки сигналов и изображений, квантовой теории поля. Ее возникновение и развитие связано со следующими именами: А. Гроссман, Ж. Морлет, Ж. Стремберг, Я. Мейер, С. Малла,

И. Добеши и др. (см. [94], [108], [112], [117]). Конструкция типа неортогональных периодических всплесков рассматривалась в [66] при построении базисов в пространствах Подобно анализу Фурье теория всплесков находит применение в исследовании частотных характеристик функции с помощью всплеск-преобразования

и представления функций рядами в вида

При описании функций с конечным носителем, сигналов с меняющимися во времени частотами с помощью анализа Фурье возникают трудности, которые объясняются свойствами функций на оси Так преобразование Фурье

функции в случае функции Дирака, имеющей вкачестве носителя единственную точку, вырождается в функцию распространенную на всю числовую ось. При обработке сигналов с меняющимися частотами анализ Фурье не позволяет выделить частоты, составляющие сигнал в окрестности произвольного момента времени. Частично эти трудности позволяет преодолеть преобразование

где быстро убывающая на бесконечности так называемая "оконная" функция, например, функция Гаусса или характеристическая функция некоторого отрезка

Возможности этого преобразования в части локализации частот по времени ограничиваются тем, что оно использует единую оконную функцию на всем временном промежутке. Аппарат всплесков позволяет автоматически осуществлять локализацию как по времени, так и в частотной области.

В настоящем параграфе приводятся основные понятия и факты теории всплесков. Изложение базируется на статье С. Малла [108], обзоре И.Я. Новикова, С.Б. Стечкина [50] и монографии Р. Массопуста [110]. Подробные доказательства можно найти в [108], [112].

Имеется два способа построения всплесков. Первый основан на кратномасштабном анализе (multiresolution analysis), позволяющем сконструировать масштабирующую функцию (совокупность масштабирующих функций в случае функций нескольких переменных), по ней определить всплеск ортонормированный базис (иногда для краткости будем использовать сокращение о.н.б.) всплесков и разложение (12.2) для любой функции Второй способ базируется на функциональном уравнении (dilation equation)

относительно По его нетривиальному решению строится всплеск