1.1. Постановка задачи

Пусть пространство функций х, заданных на сетке

со значениями в наделенное нормой

Обозначим

класс функций из X, удовлетворяющих условию Липшица. Для требуется найти

Наряду с будем рассматривать класс

заданные элементы из У. Аналогично проводятся рассуждения и в том случае, когда отсутствует одно из граничных условий

В дальнейшем функцию а также множество будем называть ломаной.

Задаче (1.2) можно дать следующую интерпретацию: для точки двигающейся в пространстве со скоростью, величина которой ограничена константой К, требуется найти траекторию, минимизирующую наибольшее из отклонений —

Сформулируем обобщение задачи (1.2): для заданного набора весовых множителей найти

или

Приведенным задачам сопоставляются "двойственные" задачи отыскания траекторий для которых соответственно достигаются нижние грани

Предложение 1. Пусть не удовлетворяет условию

Функция выпукла и строго убывает на отрезке функция (соответственно ) является обратной для (соответственно ). Траектория реализует нижнюю грань тогда и только тогда, когда она реализует нижнюю грань (1.4) (соответственно при

Доказательство. Для задач (1.3), (1.3°) рассуждения аналогичны. Рассмотрим случай (1.3). Пусть Найдем ломаные такие, что тогда и

Следовательно, выпуклая функция. Проверим монотонность Для выделим множества и положим

Имеем при

и, выбирая 6 из условия обеспечим включение Отсюда

и так как при

при то Теперь

Если решает задачу (1.3) при то

Ввиду равенства это значит, что если х решает задачу (1.4) при то в силу равенства он решает задачу (1.3) при Предложение установлено.

Таким образом, задача построения траектории х (при ограничении на величину скорости), минимизирующей сводится к задаче отыскания траектории х с возможно меньшей величиной скорости и уклонением от точек не превосходящим заданного числа

Последняя задача допускает естественное обобщение. Пусть заданы замкнутые выпуклые множества Требуется найти траекторию такую, что