1.4. Задача о наилучшем приближении

Успешному решению каждой из задач: сжатия численной информации, восстановления неполной информации, сглаживания экспериментальных данных способствует удачный выбор класса V приближающих функций и нормы. Если функция отражает известный процесс (физический, химический, биологический, социальный и т.п.), то общие свойства этого процесса (периодичность, монотонность, степень гладкости, зкспоненциальность, наличие особенностей) могут подсказать, какой класс приближающих функций будет подходящим. При выборе нормы нужно учитывать исходные требования к аппроксимации (близость функций в каждой точке или близость в среднем), характер численных данных (наличие и вид шумов).

Пусть для функции подобраны класс V и норма Теперь предстоит построить приближающую функцию т.е. фактически дать метод (алгоритм) который функции сопоставляет функцию Если класс V есть линейное пространство, то метод может быть линейным, т.е. Таковы методы интерполяции, Фурье. Классы рациональных дробей экспоненциальных сумм

сплайнов с нефиксированными узлами, дифференцируемых функций с производной, ограниченной заданной константой, не являются линейными. Наиболее эффективным является метод наилучшего приближения, который функции сопоставляет (как аппроксимирующую) функцию наилучшего приближения, а именно, функцию для которой

Указанная нижняя грань есть расстояние от до класса V, она называется величиной наилучшего приближения и иногда обозначается как К примеру, стандартную задачу сглаживания экспериментальных данных можно свести к следующей задаче о наилучшем приближении

где класс функций с интегрируемым квадратом производной,