Модель Зоммерфельда. Плотность состояний.

Исторически первая и наиболее простая квантовомеханическая модель твердого тела была предложена Зоммерфельдом. Он считал, что потенциальная энергия электрона внутри кристалла везде постоянная, а на поверхности имеется достаточно высокий потенциальный барьер. Электроны, свободно перемещаясь в кристалле, не могут его покинуть, так как их удерживают

силы отталкивания от барьера. Уравнение Шредингера (2.5) для одного электрона при постоянном можно представить в виде

Поскольку величина потенциальной энергии зависит от выбора начала отсчета, то для простоты положим внутри кристалла и на его поверхности.

Если волновую функцию искать в вице произведения

то (2.5а) распадается на три независимых уравнения и задача сводится к решению уравнения типа

где

Легко убедиться, что уравнению (2.6) удовлетворяют функции а общее решение равно [2,42]

Вероятность обнаружить электрон в интервале от х до пропорциональна При электроны не могут покинуть кристалл, и, следовательно, за пределами кристалла тождественно равно нулю. Тогда из требования непрерывности решения уравнения Шредингера во всем пространстве следует, что на границах кристалла также равно нулю. Налагая эти граничные условия на (2.8), получим

Здесь любое целое положительное число.

Собственные значения энергии, соответствующие волновым функциям согласно (2.7) и (2.9), равны

импульс электрона.

Таким образом, энергия электрона, запертого в потенциальном ящике, обладает дискретным рядом значений.

Умножая (2.10) на получим волновую функцию, зависящую от времени

Она описывает стоячую волну с частотой и узлами в точках где Аналогичные волны устанавливаются на закрепленной с обоих концов струне.

Вместо использованных выше граничных условий на функции обычно накладывается требование периодичности Борна — Кармана

где равно большому числу постоянных решетки.

Условия цикличности Борна — Кармана вводятся для того, чтобы избежать рассмотрения граничных условий, в которые в явном виде входят размеры кристалла, поскольку ясно, что при больших значениях физические процессы в твердом теле не должны зависеть от его геометрии. Если рассматривается трехмерный случай, то число должно быть большим во всех трех измерениях.

Тогда решение уравнения (2.6) можно брать просто в виде

считая, что принимает и положительные, и отрицательные значения. Из условия периодичности применительно к (2.14) следует

а временная функция описывает бегущую волну

Из сравнения (2.15) с (2.9) вытекает, что в бесконечном кристалле уровни расположены в два раза реже, чем в ограниченном. Зато каждому уровню соответствует две волны, бегущие в противоположных направлениях и характеризующиеся равными по величине, но разными по знаку величинами Из последней формулы следует, что имеет физический смысл волнового числа электрона. Длина волны, связана с равенством

Решения, аналогичные (2.16), получаются и для функций, зависящих от а волновая функция, описывающая трехмерное движение имеет вид

где единичные векторы, направленные вдоль осей Энергия, соответствующая состоянию выражается суммой

Здесь выступает как квадрат вектора с компонентами так что

Очевидно, заданному значению энергии будет соответствовать, как правило, несколько волновых функций, поскольку значение может реализовываться при различных комбинациях значений а каждой комбинации этих чисел соответствует своя волновая функция. Так, может относиться к волнам, распространяющимся вдоль оси вдоль оси или вдоль оси Для больших степень вырождения, естественно, возрастает.

Найдем аналитическое выражение для числа состояний, которым соответствует энергия электронов в кристалле от до или частота от со до Поскольку координаты волнового вектора принимают только дискретный ряд значений, то все -пространство можно представить составленным из кубиков со стороной и объемом Число кубиков равно числу возможных комбинаций Поэтому число состояний со значением волнового вектора от до равно удвоенному отношению объема шарового слоя в -пространстве к объему одного кубика:

где - объем кристалла. Коэффициент 2 вводится в (2.20) для учета спинового вырождения электронов.

Так как, согласно (2.19),

из (2.20) находим число состояний в расчете на единичный интервал энергии

Рис. 7. Модель Кронига и Пенни

С увеличением энергии оно растет как корень квадратный из

Как известно, производная равна групповой скорости волнового пакета. Поэтому плотность состояний в расчете на единичный интервал частот на основании (2.20) и (2.17) можно представить в виде

где фазовая скорость бегущей волны (2.16).

Величина (2.22) равна также плотности состояний электромагнитного поля, поскольку каждому значению волнового вектора поля также соответствуют две волны с разным направлением вектора поляризации [43].

Выражение для плотности состояний (2.21), полученное с помощью простейшей модели вещества, широко используется в теории твердого тела. Оказывается, если заменить в нем на эффективную массу электрона то (2.21) будет определять плотность состояний в реальном кристалле.