Эффективная масса.

Как было показано при рассмотрении модели Кронига и Пенни, энергия электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, Однако для практических целей удобно сохранить зависимость энергии электрона от квазиимпульса в классическом виде, а все различия, вызванные влиянием периодического поля, включить в массу электрона. Тогда в формуле вместо появляется некоторая функция энергии называемая эффективной массой.

В одномерном случае величину можно рассчитать из разложения энергии в ряд Тейлора около экстремальных точек

Так как в точках энергия имеет максимум или минимум (см. рис. 9), то первая производная равна нулю. Ограничиваясь вторым приближением, из (2.43) находим

Следовательно, роль эффективной массы играет величина

В низших точках разрешенных зон имеет минимумы, а вторая производная от по больше нуля. Поэтому на дне зоны эффективная масса положительна, а в вершинах зон отрицательна, поскольку В некоторой точке в центре зоны Очевидно, разложение энергии в степенной ряд (2.43) и формула (2.44) справедливы только вблизи экстремальных точек. Понятие эффективной массы имеет более широкие границы применимости и может быть введено исходя из принципа соответствия.

Известно, что средние квантовомеханические величины удовлетворяют тем же соотношениям, что и соответствующие им классические величины. Так, волновые пакеты, составленные из решений уравнения Шредингера, движутся по траекториям классических частиц [44]. Поэтому уравнению Ньютона

должен соответствовать квантовомеханический аналог.

Средняя скорость электрона равна групповой скорости волнового пакета [25]. Для одномерного движения а в общем случае

где единичные векторы, направленные вдоль осей

Так как энергия зависит от времени только через волновой вектор к, то ускорение можно представить в виде

В правой части (2.48) стоит произведение тензора

на вектор следовательно

что по форме совпадает с классической формулой (2.46).

Таким образом, в квантовой механике кристаллов величиной, обратной эффективной массе, является тензор второго ранга с компонентами Качественно эффективную массу можно исследовать, рассматривая кривизну графика как функции к. Анизотропные свойства становятся наглядными, если построить изоэнергетические поверхности в k-пространстве, удовлетворяющие уравнению Если не зависит от направления к, а определяется лишь величиной вектора, то изоэнергетические поверхности будут сферами, а тензор (2.49) перейдет в скалярную величину Эллипсоидальным изоэнергетическим поверхностям соответствует тензор обратной эффективной массы диагонального вида. В этом случае вблизи экстремальных точек зависимость энергии от имеет вид

где

Расчеты показывают, что во многих полупроводниках, в том числе в кремнии и германии, изоэнергетические поверхности не сферичны, а величина носит тензорный характер [56].

Если эффективная масса выражается тензором, то в формулу для плотности состояний (2.21) необходимо вместо подставить выражение Однако вид этой формулы можно сохранить, если под понимать эффективную массу плотности состояний [38].