Уровень Ферми в собственном невырожденном полупроводнике.

Положение уровня Ферми в системе зависит от свойств этой системы и температуры. Оно может быть теоретически рассчитано только в том случае, если известна плотность состояний как функция энергии Исходным условием для нахождения значения служит уравнение электронейтральности [71]:

Здесь общее число электронов в зоне проводимости; число дырок в валентной зоне; концентрация акцепторов, присоединивших к себе электроны и превратившихся в отрицательные ионы; концентрация ионизированных доноров.

Так как концентрация нейтральных доноров совпадает с числом электронов на донорных уровнях и аналогично то (3.5) можно представить в виде

где и - полные концентрации доноров и акцепторов.

В общем случае уравнение (3.5) является трансцендентным и его решения находятся путем численных расчетов. Остановимся более подробно на выяснении некоторых характерных закономерностей.

Рассмотрим собственный полупроводник при температурах, удовлетворяющих условию где ширина запрещенной зоны; дно зоны проводимости и потолок валентной зоны соответственно. Тогда (3.5) переходит в равенство где

индекс I указывает на то, что полупроводник собственный. Хотя зона проводимости и валентная зона имеют конечную

ширину, пределы интегрирования можно расширить, поскольку быстро убывают при движении от вверх и от вниз.

Как будет видно из дальнейшего, уровень Ферми лежит глубоко в запрещенной зоне, поэтому можно воспользоваться классическим приближением распределения Ферми — Дирака:

С другой стороны, в окрестности плотности состояний на основании (2.21) в расчете на единицу объема можно представить в виде:

где эффективные массы носителей заряда в зоне проводимости и валентной зоне.

Подставляя (3.7) и (3.8) в (3.6), путем введения новых переменных интегралы легко свести к табличным. В результате будем иметь:

Здесь введены эффективные плотности состояний в зоне проводимости и в валентной зоне

причем

С учетом (3.9) и (3.10) уравнение нейтральности принимает

Логарифмируя его, находим

Согласно (3.13), если уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен в середине запрещенной зоны. С ростом температуры он поднимается вверх, поскольку обычно При обратном неравенстве второе слагаемое в (3.13) имело бы отрицательный знак и, следовательно, уровень Ферми понижался бы с увеличением температуры.

Если полупроводник находится в таком состоянии, что распределение электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне может быть описано функцией Максвелла — Больцмана, то он называется невырожденным. Если же классическое приближение неприменимо, то полупроводник называется вырожденным. Условием отсутствия вырождения служат неравенства:

Выполнение (3.14) означает, что эти неравенства справедливы для всех энергий зоны проводимости и валентной зоны, а единицей в знаменателе (3.3) можно пренебречь. Таким образом, в невырожденном полупроводнике уровень Ферми находится на расстояниях, больших от потолка валентной зоны и от дна зоны проводимости.