Кинетические уравнения.

Процессы образования и аннигиляции экситонов вместе с процессами межзонных оптических переходов можно описать с помощью уравнений баланса скоростей или кинетических уравнений. Для этого необходимо определить скорости образования и исчезновения экситонов. Рассмотрим вначале собственный полупроводник, в котором имеются только свободные экситоны.

Из всех возможных механизмов образования экситонов два являются основными. Во-первых, экситоны возникают в результате связывания свободных электронов и дырок. Обозначая вероятность этого процесса через у, скорость образования экситонов можно выразить формулой

Рис. 30. Схема процесса термализации экситонов [204]

Рис. 31. Схема оптических и безызлучательных переходов в собственном полупроводнике с учетом образования диссоциации и рекомбинационной аннигиляции свободных экситонов

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны, поэтому равно также

Во-вторых, при возбуждении полупроводника светом, энергия квантов которого соответствует экситонным полосам поглощения, экситоны образуются непосредственно из-за частичного ослабления валентных связей, удерживающих электрон в валентной зоне. Свободные носители заряда при этом не создаются. Скорость образования экситонов таким путем равна

где мощность и коэффициент экситонного поглощения; плотность потока возбуждающего света.

Если обозначить вероятность аннигиляции экситона с испусканием кванта света через а вероятности его неоптической аннигиляции и диссоциации на свободные электрон и дырки через соответственно, то скорости указанных процессов можно представить в виде:

В принципе при составлении уравнений баланса необходимо учитывать способность экситонов перемещаться в пространстве. Они могут возникнуть в одном участке кристалла, а аннигилировать в другом, что отражается на балансе скоростей. Однако поскольку во многих случаях диффузией экситонов можно пренебречь, будем считать экситоны неподвижными. Тогда для элементарного объема справедливы кинетические уравнения (рис. 31):

к которым необходимо добавить уравнение электронейтральности: Здесь скорость образования электронно-дырочных пар при возбуждении полупроводника квантами света вероятности излучательной и безызлучательной межзонной рекомбинации. Границы применимости выражения рассмотрены в § 6.

При стационарном режиме облучения (8.32) и (8.33) переходят в систему нелинейных алгебраических уравнений, так как

Решение этой системы имеет вид:

Полагая в (8.34) и либо получим концентрации электронов и экситонов при возбуждении только в экситонной полосе поглощения либо только при межзонном поглощении. На основании (8.34) и (8.35) находим скорости люминесценции при межзонной рекомбинации и экситонной аннигиляции

Как видно из последних формул, в рамках линейной оптики, т. е. пока коэффициент поглощения не зависит от интенсивности возбуждения, скорости межзонной и экситонной люминесценции являются линейными функциями интенсивности возбуждающего света. Если вероятность диссоциации экситонов то концентрация электронов и скорость межзонной рекомбинации не зависят от возбуждения в экситонной полосе поглощения При скорость аннигиляции экситонов не зависит от межзонного возбуждения.

Отношение скоростей межзонной и экситонной люминесценции равно

где При изменении от до изменяется в пределах

Если возбуждение производится в одном канале или то отношение скоростей межзонной и экситонной люминесценции не зависит от интенсивности возбуждающего света.

В условиях термодинамического равновесия скорости связывания свободных электронов и дырок в экситоны и диссоциации экситонов равны:

Это позволяет найти связь между параметрами у и а. По аналогии с формулами (3.9) и (3.10) концентрацию экситонов представим в виде

где

— эффективная плотность экситонных состояний [207]; -масса экситона. При выводе (8.40) учтено, что электрон и дырка, входящие в состав экситона, образуют два состояния с параллельными и два с антипараллельными направлениями спинов.

Подставляя (3.9), (3.10) и (8.40) в (8.39), находим

Здесь приведенная масса экситона. При низких температурах, когда величина а может быть пренебрежимо малой. С повышением температуры а быстро возрастает, поскольку энергия связи экситона обычно невелика.

Уравнения типа (8.32) и (8.33) легко составить и для других сложных процессов. Например, тушение экситонной фотолюминесценции кристаллов в электрическом поле с учетом рекомбинации через примесные состояния описывается следующей системой уравнений [208]:

где вероятность ударной ионизации экситонов в электрическом поле, параметр зависит от величины приложенного электрического поля; концентрация примеси и число электронов на примесных уровнях; суммарные (оптические и неоптические) вероятности переходов зона проводимости — примесь и примесь — валентная зона.

К системе уравнений (8.43) необходимо добавить уравнение электронейтральности

если полупроводник -типа, и

для полупроводников -типа.

С помощью (8.43) — (8.45) качественно удается описать ряд наблюдаемых закономерностей в экситонной фотолюминесценции. Аналогичные уравнения, но с пренебрежением некоторыми вероятностями переходов использовались в [207, 209].

Кинетические уравнения сильно усложняются для полупроводников, в которых имеются донорные и акцепторные примеси разных сортов и кроме свободных экситонов образуются связанные экситоны различных типов. В таких случаях, исходя из конкретной постановки задачи, необходимо с самого начала приравнять нулю вероятности процессов, которыми можно хотя бы в первом приближении пренебречь. Это значительно упрощает все расчеты. Примеры такого подхода можно найти в [210,212].

С помощью кинетических уравнений было показано [209], что интенсивность фотолюминесценции связанного экситона выражается формулой

где

значение интенсивности фотолюминесценции при Хотя формула (8.46) носит приближенный характер, она хорошо описывает наблюдаемую температурную зависимость интенсивности фотолюминесценции экситона в связанного на изоэлектронной ловушке. Из сопоставления теоретической и экспериментальной кривых определена энергия связи экситона на ловушке