Модель параболических зон с правилом отбора по волновому вектору.

Эта одна из основных моделей, применяемая для рассмотрения многих электрических и оптических явлении в полупроводниках (§ 6).

Пусть полупроводник возбуждается светом в узком спектральном интервале в окрестности частоты Под действием внешнего возбуждения электроны будут переходить из валентной зоны в зону проводимости, где их концентрация

Рис. 63. Графики функций (13.20), (14.11), (14.12) — кривые 1, 2, 3 соответственно

Рис. 64. Модель параболических зон

станет больше, чем при термодинамическом равновесии. Одновременно происходит обратный процесс спонтанной, вынужденной и безызлучательной рекомбинации.

Так как время установления равновесия между носителями в пределах одной зоны порядка сек, а время рекомбинации, как правило, больше сек, то распределение электронов по уровням энергии зоны проводимости и валентной зоны будет характеризоваться функцией Ферми-Дирака

и двумя квазиуровнями Ферми для электронов и дырок соответственно. Здесь введены обозначения: приведенная масса; эффективные массы электрона и дырки; приведенные квазиуровни Ферми (рис. 64).

При возбуждении межзонных переходов уравнение баланса и уравнение электронейтральности можно представить в виде [242, 433]

где мощность и квантовый выход люминесценции; интеграл Ферми-Дирака (3.18). Интегрирование в проводится по соответственно.

Величины связаны между собой законами сохранения энергии и импульса и однозначно определяются частотой испускаемого света:

Коэффициент поглощения на произвольной частоте и мощность люминесценции равны [242]

где

интегральные коэффициенты Эйнштейна; — матричный элемент дипольного момента; -магнитная проницаемость в системе [105];

—приведенная плотность состояний в зонах.

С учетом (14.17) — (14.21) уравнение баланса (14.15) легко представить в виде

При выводе (14.22) сделано предположение, что квантовый выход люминесценции в пределах полосы люминесценции не зависит от Величина в формуле (14.15) заменена на и для краткости обозначено через

Уравнение электронейтральности решается в аналитическом виде только в двух случаях: а) и б) полупроводник не

вырожден, так что функции Ферми-Дирака можно заменить экспонентами.

В первом случае из (3.18) и (14.16) находим

Выражение в квадратных скобках (14.18) равно — 1 для всех частот и равно 1 для где -частота инверсии, в которой коэффициент поглощения обращается в нуль. Приравнивая показатели экспонент, получим

Знаменатель под интегралом в (14.22) равен единице для всех и обращается в бесконечность, если где

Поэтому интеграл в (14.22) равен

Из (14.22) и (14.25) следует

Формулы (14.26) справедливы при так как при их выводе предполагалось наличие вырожденных электронов и дырок в зонах. Они показывают, по какому закону при температуре абсолютного нуля движутся квазиуровни Ферми в зонах и частота инверсии с ростом плотности потока возбуждающего света. При коэффициент поглощения соответственно равен к

Во втором случае, когда возбуждение недостаточно велико, чтобы вызвать вырождение электронов и дырок в зонах,

формулы (14.16), (14.18) и (14.22) можно заменить на более простые выражения [433]:

Определяя из (14.27) и (14.28) и подставляя (14.29), приходим к следующему уравнению для к

где параметр нелинейности

Решая (14.30), находим [433—435]

что по форме совпадает с (14.11). Однако параметр а имеет здесь другое значение, а формула (14.32) справедлива для модели параболических зон только при отсутствии вырождения.

Параметр нелинейности а однозначно определяет минимальные плотности возбуждающего потока, при которых становится заметным просветление полупроводника. Согласно (14.32), при Следовательно, коэффициент поглощения уменьшается на 3% от исходного, когда

Как видно из (14.31), параметр нелинейности не зависит от квадрата матричного элемента перехода. Поэтому если время жизни возбужденного состояния определяется главным

образом оптическими переходами, а безызлучательная рекомбинация слабо влияет на то параметр нелинейности практически не зависит от Порядок величины а определяется прежде всего шириной запрещенной зоны, частотой возбуждения и температурой. Нарушения закона Бугера легче всего наблюдать в полупроводниках с небольшой шириной запрещенной зоны, поскольку Аналогичная закономерность была установлена и для квантовомеханических систем с дискретными уровнями энергии (§ 13).

При так как в этой модели поглощение отсутствует. С увеличением значение а резко возрастает и достигает своего максимального значения, а затем убывает тем резче, чем ниже температура (рис. 65, а).

Температурная зависимость а достаточна сложна (рис. 65, б), однако, начиная с некоторого значения зависящего от частоты возбуждения, при его дальнейшем увеличении а убывает. Подобно атомным и молекулярным системам (§ 13), в полупроводниках повышение температуры уменьшает эффект насыщения.

Зависимость коэффициента поглощения от интенсивности возбуждающего света в условиях вырождения полупроводника может быть рассчитана только путем численного решения уравнения электронейтральности и уравнения баланса (14.22), которое для этой цели удобно представить в виде

где через обозначен интеграл в (14.22).

Рис. 65. Зависимость параметра нелинейности для модели параболических зон с правилом отбора по волновому вектору от частоты возбуждения (а) при и температуры (б) при

Рис. 66. Номограммы—решения уравнения (14.16). Цифры на кривых — величина отношения

Графики зависимости от для собственных и компенсированных полупроводников, построенные на основаниях решения уравнения электронейтральности, показаны на рис. 66 [242]. Для получается прямая линия Чем больше отношение тем дальше в область отрицательных значений заходит при Линейная зависимость между и при тнфте отсутствует. Поэтому результаты, которые иногда в теории получают, полагая могут качественно отличаться от зависимостей, справедливых для реальных полупроводников, где, как правило, .

На рис. 67 приведены графики функции построенные на основании точных решений уравнений (14.16) и (14.33). Там же для сравнения показана зависимость к от даваемая формулой (14.32) (пунктирная кривая). Характерно, что все сплошные кривые не только сливаются с пунктирной в области малых значений но и в целом мало отличаются от нее по форме. Это означает, что переход от невырожденного полупроводника к вырожденному хорошо передается формулой (14.32). В полном соответствии с этой формулой для невырожденного полупроводника и в случае вырождения, где небольшое изменение

В области больших значений любую кривую (рис. 67) можно аппроксимировать графиком функции Значение а может быть как больше, так и меньше а. Например, для кривых 2 и 3 а соответственно равно 8,45 а и 0,55 а.

Указанная зависимость к от справедлива для всех без исключения веществ, у которых мощность поглощения стремится к конечному пределу при Действительно, из условия

следует

Такой же вывод для частного случая сделан в работе [439].

Рис. 67. Зависимость коэффициента поглощения от построенная на основании (14,32) (пунктирная кривая) и точного решения уравнений (14.16) и (14.33) при