Колебания одномерной решетки, состоящей из одинаковых атомов.

Пусть кристаллическая решетка состоит из линейной цепочки атомов. В положении равновесия все атомы с одинаковой массой расположены на одной линии на одинаковом расстоянии а друг от друга [38, 80]. Отклонение атомов из положения равновесия обозначим через где номер атома. Величина если атом сместился вправо от положения равновесия, в противоположном случае При небольших амплитудах колебаний силы, возвращающие атомы в положения равновесия, можно считать квазиупругими, т. е. пропорциональными величине отклонения. Тогда на атом будут действовать силы со стороны атомов, соответственно равные

где коэффициент квазиупругой силы.

Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, то уравнение движения атома будет иметь вид

Обозначая вторую производную по времени через и учитывая (4.6), получим

Решение уравнения (4.8) будем искать в виде

где целое число; волновое число; циклическая частота.

Подставляя (4.9) в (4.8) и сокращая на находим

Здесь длина волны.

Выражение (4.9) описывает бегущую волну. Одному и тому же абсолютному значению соответствуют две волны, бегущие в противоположных направлениях, так как может быть положительным и отрицательным. Частота колебаний атомов не пропорциональна волновому вектору волны, а связана с ним законом дисперсии (4.10). Эта формула не зависит от номера поэтому полученное решение справедливо для любого атома цепочки.

Если в (4.9) вместо взять новое волновое число отличающееся от на целое число постоянных обратной решетки (см. § 1), то получим функцию

тождественную поскольку Поэтому можно ограничиться рассмотрением решения в первой зоне Бриллюэна (§ 2), где изменяется в пределах

Из (4.12) следует, что минимальная длина волны колебаний цепочки равна

а максимальная частота

Наличие предельной частоты колебаний и нелинейного закона дисперсии служит важным отличием дискретной линейной цепочки от непрерывной упругой среды.

Например, колебания ближайшего аналога линейной цепочки — струны описываются волновым уравнением [81]

где координата, скорость звука. Решение (4.15) имеет вид

причем частота прямо пропорциональна волновому вектору

и может принимать любые значения от (для бесконечно длинной струны) до бесконечности. Поэтому в теории Дебая частота ограничивается сверху искусственным путем. Для цепочки конечной длины длина волны должна иметь ограничение и сверху. Она не может быть больше Ятах В предельном случае на всей длине цепочки укладывается полволны, все атомы синхронно смещаются вначале в одну сторону, а потом в другую. Это ограничение длины волны можно получить и строго математически, если потребовать, чтобы выполнялись условия цикличности Борна — Кармана

где число атомов на достаточно большом отрезке цепочки, либо это число всех атомов конечной цепочки, которая согнута в виде окружности, так что номера относятся к одному и тому же атому.

Подставляя (4.9) в (4.18), находим

где по-прежнему целое число, изменяющееся в пределах от до Согласно (4.19), волновое число для цепочки конечной длины принимает дискретный ряд значений

Наибольшее значение длины волны Условие Борна — Кармана требует, чтобы на заданном участке цепи укладывалось целое число длин волн.

Фазовую скорость бегущей волны легко найти из условия постоянства фазы

Отсюда скорость прохождения заданной фазы через точки равна

где учтено (4.10). Можно показать [38], что скорость звука в рассматриваемом случае равна

и, следовательно

С помощью (4.10) находим также групповую скорость волнового пакета [44]

Для длинных волн, для которых фазовая и групповая скорости приближенно равны скорости звука:

Таким образом, линейная цепочка атомов, несмотря на свою простоту, характеризуется двумя свойствами, присущими реальным кристаллам: частота колебаний атомов ограничена сверху и связана с волновым вектором нелинейным законом дисперсии. Незначительное усложнение этой модели позволяет разделить колебания решетки на акустические и оптические.