Классификация электронных состояний.

Для электрона Бодородоподобных атомов, движущегося в центрально-симметричном поле, классификация на состояния производится довольно просто, поскольку волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера, представляется как произведение радиальной и сферической функций, зависящих от разных переменных.

Трем степеням свободы электрона в атоме соответствуют три квантовых числа: главное орбитальное

и магнитное В атоме водорода энергия электрона определяется только главным квантовым числом не зависит от Это означает, что уровни энергии вырождены — одной и той же энергии соответствует несколько состояний движения. В спектроскопии эти состояния обозначаются буквами что соответствует значениям равным Если симметрия поля нарушается, то вырождение снимается и каждый уровень расщепляется на несколько подуровней.

Для сложных молекул классифицировать электронные состояния уже труднее, а сама классификация часто носит условный характер [50].

Классификация электронных состояний в кристаллах исключительно громоздка. В полном объеме она излагается только в специальных книгах [10]. В основе классификации лежит теорема, согласно которой волновая функция и энергия электрона в зоне Бриллюэна обладают симметрией всей точечной группы кристалла. Поэтому классификация производится чаще всего методами теории групп [51—53].

Под группами симметрии кристалла понимают совокупность операций, которые переводят кристалл сам в себя. Так, группа трансляций — это всевозможные перемещения кристаллической решетки на вектор выраженный формулой (1.1). Эта группа является частью общей пространственной группы кристалла, куда входят и другие элементы симметрии: вращения, отражения и сочетания вращений и отражений с трансляцией не на целую часть постоянной решетки (винтовые оси и плоскости скольжения).

Каждый элемент группы симметрии может быть представлен в виде матрицы [10]. Например, поворот системы координат на угол а вокруг оси в направлении правого винта можно выразить формулой

где старые и новые координаты некоторой фиксированной точки.

Если путем унитарного преобразования матрицу можно представить в таком виде, что все ее элементы будут равны нулю, за исключением квадратных блоков вдоль диагонали:

такое представление называется приводимым. Если этого сделать нельзя, представление будет неприводимым.

Классификация электронных состояний в кристалле производится путем выделения в первой зоне Бриллюэна особых точек и линий, которым соответствуют группы неприводимых представлений. В теории твердого тела общеприняты обозначения этих групп, предложенные в работе [54]. Так, центр зоны Бриллюэна обозначается буквой (рис. 11). При всех операциях симметрии эта точка преобразуется в самое себя. Для обозначения каждой операции применяется система индексов Особые линии в направлении [100], [111] и [110] обозначаются через а точки их пересечения с плоскостями, ограничивающими зону Бриллюэна, — через Эти линии инвариантны по отношению к операциям отражения [10, 55]. На рис. 11 показаны и другие точки и линии симметрии. Набор волновых функций, соответствующих всем элементам группы симметрии обратной решетки, и определяет совокупность состояний электрона в кристалле.