Зависимость порогового тока от коэффициента потерь в модели параболических зон.

Один из возможных механизмов рекомбинации в полупроводниковом лазере связан с межзонными переходами. При расчетах обычно используют модель параболических зон. Такое приближение оказывается, по-видимому, достаточно хорошим при высоких температурах и большой величине коэффициента потерь когда роль хвостов плотности состояний, образующихся при сильном легировании, незначительна. Модель параболических зон использовалась для расчета порогового тока инжекционных лазеров неоднократно [106, 605]. Приводимое ниже изложение вопроса основано на работах [435, 600, 606—610].

Модель параболических зон рассмотрим в двух крайних случаях: прямых межзонных переходов и переходов без правила отбора. Число спонтанных переходов в единице объема за единицу времени, согласно (6.21), (6.23), равно в первом случае

во втором

Соотношение между коэффициентом усиления и можно представить (§ 7) в виде

где Величина для прямых переходов и переходов без правил отбора равна соответственно

Частота излучения, коэффициент усиления на которой максимален, находится из условия равенства нулю производной от по и определяется расстоянием между квазиуровнями Ферми В общем случае для прямых переходов получается довольно громоздкое выражение [607], принимающее, однако, простой вид, если В этом случае энергия фотона в максимуме спектра усиления равна (§ 15). В указанном приближении, которое справедливо при высоких температурах и несильном возбуждении, коэффициент усиления в случае прямых переходов равен

где определяется выражением (20.14). При заданных наибольший коэффициент усиления получается, когда , что соответствует промежуточно легированному полупроводнику -типа, если Соотношение между величиной и максимальным коэффициентом усиления, равным в пороге генерации имеет вид

В рассматриваемом приближении для модели параболических зон без правил отбора получено [606]

задается (20.15). Соотношение между энергией и коэффициентом потерь имеет вид

Подставляя (20.12) в (20.9), проводя интегрирование под знаком интеграла и используя (20.19), получаем выражение для плотности порогового тока [606]

В области малых потерь зависит от в степени 1/3. При некотором минимальном токе

максимальный коэффициент усиления активного слоя равен нулю. Если среда может только поглощать излучения, при на некоторой частоте возникает усиление. Поэтому значение тока, при котором будем называть током инверсии. Параметр имеет наибольшее значение в промежуточно легированном полупроводнике -типа и уменьшается с переходом к сильно легированному полупроводнику или -типа. Для диода с компенсированной областью рекомбинации, когда концентрации ионизованных доноров и акцепторов равны,

В общем случае аналитическое выражение для зависимости порогового тока от коэффициента потерь получить не удается. Результаты численного расчета, проведенного при вариации параметров в широких пределах, изложены в работах [606, 607].

Как видно из рис. 101, при увеличении коэффициента потерь от до 150 смгх порог генерации в компенсированном полупроводнике с параметрами арсенида галлия превышает не более чем в два раза. Ток инверсии при высоких температурах достигает больших значений. Для d = 2 мкм и времени жизни носителей сек из графиков находим .

Начальные участки кривых на рис. 101 можно аппроксимировать формулой

где - коэффициент пропорциональности, В дальнейшем зависимость от становится линейной и удовлетворяет формуле

Рис. 101. Зависимость порога генерации от коэффициента потерь в модели параболических зон с правилом отбора по волновому вектору для компенсированного полупроводника с параметрами арсенида галлия при температурах,

Параметр равен отрезку, который отсекает прямая (20.23) на оси Формула (20.23) дает правильное значение порога только на линейном участке кривой поскольку при стремится к а не к

Из расчетов следует [606, 607], что в модели параболических зон как с правилом отбора по волновому вектору, так и без правила отбора при больших зависимость от вновь может стать нелинейной и аппроксимируется соотношением

Как показано на рис. 102, легирование диода по-разному, в зависимости от влияет на величину порогового тока. Для малых порог генерации с переходом от компенсированного полупроводника к полупроводнику -типа сначала уменьшается, а затем монотонно увеличивается. С переходом к полупроводнику -типа проходит через максимум. Для больших превышение концентрации доноров над акцепторами приводит к повышению порога. Легирование акцепторами вызывает уменьшение в случае прямых переходов, а для переходов без правила отбора имеется мииимум соответствующий промежуточно легированному полупроводнику -типа. Очевидно, для полупроводников с равными эффективными массами электрона и дырки графики будут симметричными [605].