Трансляционное и внутреннее движение экситонов большого радиуса.

Если электрон и дырка находятся на расстоянии, значительно превышающем величину постоянной решетки, то приближенно можно считать, что между ними действует сила кулоновского притяжения, ослабленная в раз, где диэлектрическая постоянная кристалла. Смещение тяжелых ядер и поляризацию кристалла, вызванную движением электрических зарядов в первом приближении, можно не учитывать.

Обозначая радиусы-векторы электрона и дырки через а их скалярные эффективные массы через

уравнение Шредингера для такой системы можно представить в виде [38]

Здесь операторы Лапласа в координатах электрона и дырки. Чтобы исследовать движение экситона как целого и внутреннее движение электрона относительно дырки, уравнение Шредингера необходимо переписать в новых координатах.

Положение электрона и дырки в пространстве будет однозначно определено, если задать радиус-вектор их центра тяжести [103]

и положение электрона относительно дырки

где

Обозначая проекции векторов на оси через и учитывая (5.2) и (5.3), находим

Вводя приведенную массу экситона

с помощью (5.4) из (5.1) получим

где — операторы Лапласа в новых переменных.

Будем искать волновую функцию в виде произведения двух функций

одна из которых зависит только от радиуса вектора центра тяжести экситона, а вторая от положения электрона относительно дырки.

Если подставить (5.7) в уравнение (5.6), а затем разделить его на то получим уравнение

первое слагаемое которого зависит от а второе — от Поскольку независимые переменные, а то (5.8) будет выполняться только в том случае, если оба слагаемых по отдельности будут равны постоянным величинам

где

Уравнению (5.8) удовлетворяет функция . А временному уравнению Шредингера, соответствующему (5.9), будет удовлетворять функция плоской волны [44]

Следовательно, трансляционное движение экситона как нейтральной квазичастицы в кристалле описывается плоской волной. В этом он похож на другие квазичастицы: фононы, плазмоны, магноны.

Энергия свободного движения экситона равна

Здесь величина импульса движения центра тяжести. На волновой вектор не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые вытекают из условия периодичности Борна — Кармана для функции (см. § 2, 4). Это означает, что энергия движения экситона как целого принимает практически непрерывный ряд значений.

Уравнение (5.10) совпадает с уравнением Шредингера для водородоподобных атомов, если считать приведенной массой электрона, а эффективным зарядом ядра. Это уравнение имеет решение для дискретного набора значений энергии [44]:

где целое число;

— величина, имеющая физический смысл постоянной Ридберга и численно совпадающая с ней при масса электрона в вакууме.

Если в формуле (5.13) заменить эффективную массу экситона на эффективную массу электрона, то она совпадает с выражением (2.50), определяющим положение неглубокого донорного уровня. При изменении от 1 до значения возрастает от до 0. При больших энергиях экситон существовать не может и диссоциирует на свободный электрон и дырку. Поэтому можно рассматривать как энергию ионизации или связывания экситона.

Складывая (5.12) и (5.13), получим полную энергию экситона

Хотя экситон как система двух частиц не укладывается в рамки одноэлектронной зонной теории (§ 2), условно его энергетический спектр можно совместить с диаграммой зон для одного электрона. При этом пренебрегая вторым слагаемым в (5. 14), основной уровень экситона изображают под дном зоны проводимости на глубине (рис. 18).

Поскольку экситоны перемещаются по кристаллу и имеется статистический разброс скоростей, то их уровни энергии нельзя считать резкими. Каждый уровень обладает конечной шириной тем большей, чем выше температура кристалла. Это проявляется в температурной зависимости ширины полос поглощения и люминесценции экситонов (§ 7). Однако при образовании экситонов в результате поглощения света в прямозонных полупроводниках импульс движения центра тяжести экситона может быть весьма малым и равным импульсу кванта света

Рис. 18. Энергетический спектр экситона

Согласно зонной теории твердого тела, в чистых кристаллах в запрещенной зоне не должно быть никаких уровней. Поэтому изображение экситонных уровней противоречит зонной теории. Это не означает, что полученный энергетический спектр экситона ошибочен, как раз наоборот. Теория двух частиц при их движении в кристалле — это приближение к действительности более высокого порядка, чем зонная теория, в которой фигурирует только один электрон, движущийся в самосогласованном поле.

В полуклассической теории Бора атом водорода в невозбужденном состоянии характеризуется радиусом Бора

Аналогично можно ввести радиус экситона в самом низком состоянии с энергией

Для из (5.17) следует см. При концентрации экситонов они будут занимать весь объем кристалла. Рассмотрение экситонов как свободно перемещающихся по кристаллу квазичастиц при больших концентрациях становится невозможным.

В сильно легированных полупроводниках, где электронная плазма экранирует взаимодействие зарядов, экситоны, как правило, не образуются.