§ 6. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ ЗОНА — ЗОНА

Скорости стимулированных и спонтанных переходов.

В рамках квантовой механики поглощение и испускание света характеризуется оператором взаимодействия [44, 87]

где

— оператор импульса; - вектор-потенциал электромагнитной волны; заряд и мдсса электрона; с — скорость света;

единичные векторы вдоль осей х, у, z; V — оператор набла. Второе слагаемое в (6.1) на несколько порядков меньше первого, и его необходимо учитывать только при рассмотрении многофотонных процессов. Поглощение света и рекомбинационное испускание можно описывать оператором

Пусть на кристалл падает плоская монохроматическая волна

с амплитудой частотой и волновым вектором причем единичный вектор в направлении распространения волны, длина волны, радиус-вектор. Учитывая связь между напряженностью электрического поля волны с? и А

легко убедиться, что волне (6.3) соответствует вектор-потенциал

Подставляя (6.5) в (6.2), получаем

где

Если электрон в начальный момент времени находится в состоянии, описываемом волновой функцией то вероятность обнаружить его в состоянии через промежуток времени равна

Здесь матричный элемент оператора взаимодействия (6.7) и для определенности предполагается, что энергия состояния

Так как, согласно определению, -функция равна

то при достаточно больших вместо (6.8) имеем

Вюдя единичный вектор поляризации и учитывая, что плотность энергии волны

матричный элемент оператора взаимодействия можно представить в виде

где показатель преломления; общее число квантов света заданной плоской волны (моды); V — объем.

Число переходов электрона из начального в конечное состояние за единицу времени равно производной от по времени. Чтобы определить скорость всех переходов, индуцируемых электромагнитной волной, необходимо просуммировать по всем начальным и конечным состояниям, разность энергий которых равна Если, кроме того, возбуждающий свет состоит не из одной монохроматической волны, а содержит мод

то скорость индуцированных переходов гянд в единице объема кристалла за 1 сек будет равна

Здесь введено обозначение

При выводе (6.14) предполагалось, что все состояния с энергией свободны. Если сделать обратное предположение, то для скорости переходов получится точно такое же выражение

6.14), как и для переходов В случае, когда верхние и нижние электронные состояния имеют конечные значения вероятностей заполнения скорость переходов между каждой парой состояний необходимо умножить на величину

Разность равна вероятности того, что данное состояние к не занято электроном, или занято дыркой. Поскольку электроны в кристалле подчинятся статистике Ферми — Дирака, то возможны переходы электронов только в свободные состояния. Если состояние занято, то и переход невозможен. Поэтому первое слагаемое в последнем выражении относится к переходам а второе характеризует скорость обратных переходов

Таким образом, скорость переходов с поглощением света с учетом вынужденного испускания дается формулой [105, 106]

где опущена -функция, выражающая закон сохранения энергии.

В квантовой электродинамике [43, 87] скорость переходов с верхних в нижние состояния пропорциональна причем первое слагаемое относится к индуцированным переходам, а единицей учитывается взаимодействие системы с нулевыми электромагнитными полями, приводящее к спонтанным переходам. Поэтому, если умножить (6.14) на произведение и положить то получится выражение для скорости спонтанных переходов

Однако величину легко рассчитать с помощью принципа детального равновесия и не прибегая к квантовой теории излучения.

В условиях термодинамического равновесия скорость спонтанных переходов между всеми парами уровней равна скорости поглощения планковской радиации, для которой

Следовательно,

Здесь учтено, что и

так как при термодинамическом равновесии вероятности заполнения уровней определяются функциями Ферми — Дирака

Формулы (6.16) и (6.18) могут служить основой для решения широкого круга задач, связанных с взаимодействием света с кристаллами. В двух частных случаях легко провести суммирование к и к и получить простые выражения для

Во-первых, если под действием света в системе возможны только такие оптические переходы, при которых сохраняется импульс, т. е. в приведенной зоне Бриллюэна тогда матричный элемент будет содержать -функцию Суммирование по к исчезнет, а суммирование по к будет равносильно умножению на приведенную плотность состояний (см. (2.21)). Следовательно, скорости поглощения света и спонтанной рекомбинации будут равны:

где относится к верхним состояниям системы, а энергия нижних состояний

Во-вторых, если правило отбора по волновому вектору не выполняется и, кроме того, матричный элемент одинаков для всех значений к и к, то из (6.16) и (6.18) получим [106]:

Здесь плотности состояний системы, Все промежуточные случаи более сложны, и для их рассмотрения требуется задание конкретной модели вещества.