Энергетические уровни примесей.

Появление в кристаллической решетке чужеродных атомов приводит к точечным нарушениям периодичности потенциального поля. Если строго периодическую потенциальную энергию электрона в кристалле обозначить через то при наличии дефектов в решетке потенциал будет равен Величина отлична от нуля в некотором объеме и определяет

изменение потенциальной энергии электрона в окрестности дефекта.

Влияние примесей на энергетический спектр кристалла можно приближенно рассмотреть, если предположить, что определяется чисто кулоновским взаимодействием электрона с точечным зарядом, т. е. где диэлектрическая проницаемость среды. Тогда уравнение

Шредингера (2.5) может быть сведено к уравнению для атома водорода с массой электрона и зарядом [38]. Энергия связанных состояний электрона такой модели равна

Здесь главное квантовое число, масса электрона в вакууме. Так как при выводе этой формулы предполагалось, что дну зоны проводимости соответствует энергия, равная кулю, то из (2.52) следует, что электрон вблизи примесных атомов обладает уровнями, лежащими в запрещенной зоне. Примеси, энергетический спектр которых соответствует (2.52), называют водородоподобными. В полупроводниках обычно имеет большое значение, порядка 10 и более, а поэтому невозбужденное примесное состояние отстоит от дна зоны проводимости на сотые или тысячные доли электрон-вольта. Например, для Такие уровни называют еще мелкими примесными уровнями. Если температура то электроны сравнительно легко их покидают и переходят в зону проводимости.

Формула, аналогичная (2.52), получается и при рассмотрении движения дырок в кристалле, если энергию потолка валентной зоны положить равной нулю и направить ось энергий сверху вниз. Тогда под следует понимать эффективную массу дырки Обычно она больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, и, следовательно, акцепторные уровни по сравнению с донорными уровнями расположены более глубоко в запрещенной зоне. Так, для GaAs Однако и это значение во много раз меньше ширины запрещенной зоны поэтому акцепторные уровни также относятся к мелким уровням.

Таким образом, при сравнительно небольшой концентрации примесей лишь в изолированных точках кристалла появляются дополнительные энергетические уровни (рис. 12, а). В отличие от разрешенных состояний основных зон, принадлежащих всему кристаллу, примесные состояния

Рис. 12. Донорные и акцепторные локализованные уровни (а). Плотность состояний как функция энергии при слабом (б) и сильном легировании

локализованы в микроскопических объемах, линейные размеры которых незначительно превышают боровский радиус

Электроны, находящиеся на примесных уровнях, связаны с дефектом и не могут перемещаться по кристаллу.

Если же в кристалл вводится большое количество примесей, то это приводит к более значительным изменениям его энергетического спектра. Во-первых, в результате взаимодействия примесных атомов между собой соответствующие им уровни расширяются, смещаются и образуют примесные зоны, подобно тому как из резких уровней атомов, образующих кристалл, получаются основные энергетические зоны твердого тела [57].

Однако в отличие от регулярного расположения основных атомов решетки, примеси распределены по кристаллу хаотически. В пределах макроскопических объемов могут быть заметные флуктуации концентрации иримеси, что приводит к флуктуации энергии электрона. Это служит дополнительным механизмом размытия уровней примесных атомов.

Во-вторых, введение примеси в полупроводник, как правило, сопровождается увеличением числа свободных носителей в кристалле. Атомы решетки оказываются как бы погруженными в электронный газ (плазму), который экранирует и ослабляет взаимодействие между электрическими зарядами кристалла. Поэтому основные зоны полупроводника смещаются, ширина запрещенной зоны обычно уменьшается. Кроме того, в результате флуктуаций концентрации примеси

исчезают резкие границы зон, образуются хвосты основных и примесных зон.

Образование примесной зоны можно установить экспериментально. Если в полупроводнике имеются не локальные примесные уровни, а сплошная зона, то при понижении температуры до нуля и «вымерзании» всех электронов из зоны проводимости его электропроводность стремится не к нулю, как в чистом полупроводнике, а к некоторому постоянному значению. Изменяется и температурная зависимость постоянной Холла [57, 58]. Эти опыты позволили установить, что, например, в германии, легированном донорами 5-й группы, примесная зона начинает образовываться уже при концентрации примеси

Чем больше концентрация примеси, тем шире примесная зона. В частности, в арсениде галлия с увеличением концентрации доноров от до теоретически рассчитанная полуширина примесной зоны возрастает от 16 до При изменении концентрации акцепторов в тех же пределах ширина акцепторной зоны увеличивается от 5 до [59]. Ясно, что при некотором значении верхний край примесной зоны попадает в зону проводимости. Для того чтобы перекрылись акцепторная и валентная зоны, необходимо большое значение поскольку при одинаковых концентрациях доноров и акцепторов акцепторная зона имеет меньшую ширину и расположена более глубоко, чем донорная зона (рис. 12, б). В этом случае раздельное рассмотрение основных и примесных зон становится условным, поскольку имеются единые области непрерывного спектра, а энергия ионизации примесей обращается в нуль.

На основании исследования электропроводности и эффекта Холла установлено, что в при концентрации доноров образуется хорошо проводящая примесная зона [60]. Если энергия ионизации обращается в нуль. В арсениде галлия -типа Стремится к нулю, если концентрация дырок больше

Учитывая характер изменения физических свойств полупроводников в зависимости от концентрации примеси, все полупроводники можно разделить на слабо легированные, промежуточно легированные и сильно легированные. В слабо легированных кристаллах имеются локализованные в пространстве резкие примесные уровни. Волновые функции электронов различных примесных центров практически не перекрываются. В промежуточно легированных полупроводниках образуются примесные зоны, но они еще не перекрылись с основными зонами энергетического спектра. Если зона проводимости или валентная зона слились с примесными зонами, полупроводник будет относиться к сильно легированному [57].

"Пбсле создания инжекционных лазеров интерес к форме примесной зоны и хвостам плотности состояний основных зон значительно возрос. Без детального знания этих величин невозможно установить механизм генерации. Наличие хвостов и их форма определяют характер зависимости коэффициента усиления от накачки, зависимость порогового тока и мощности генерации от коэффициента потерь и температуры. Контур полосы люминесценции и край фундаментальной полосы поглощения также связаны с хвостами зон. В тунельных диодах они влияют на форму вольтамперной характеристики [61].

В работе [59] на основании сравнения контура полосы рекомбинационного излучения в с расчетными данными сделан вывод, что плотность состояний в примесных зонах может быть хорошо описана гауссовой кривой

Величина определяет полуширину зоны и может быть приближенно рассчитана по формуле [62]

где число примесных атомов в а

— обратная длина дебаевского экранирования. Интегрируя (2.54) по от до находим Более последовательно вопросы экранирования рассмотрены в [63].

С учетом «хвостов» плотность состояний в зоне будет выражаться вместо (2.21) более сложной функцией [62]:

Если достаточно велико то, вынося из-под знака интеграла плавную функцию в точке в окрестности которой острая функция отлична от нуля, получим Следовательно, в зоне проводимости функция (2.57) переходит в (2.21).

Для энергий, лежащих глубоко в запрещенной зоне из (2.57) и (2.58) приближенно находим

Согласно (2.59), в запрещенной зоне функция плотности состояний, возникших в результате сильного легирования полупроводника, переходит практически в крыло гауссовой кривой (рис. 12, г). При вычислении интеграла (2.58) учитывалось, что для подынтегральная функция существенно отлична от нуля только в окрестности точки и использовалось приближенное равенство:

Несколько иные выражения для функции плотности состояний хвостов даны в работах [57, 64—69]. Результаты, полученные различными методами, сравниваются в работе [70].