§ 2. ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Исходные положения зонной теории.

Состояние движения электронов в твердом теле было бы точно известно, если бы удалось решить уравнение Шредингера

и найти собственные волновые функции и значения энергии Оператор Гамильтона для кристалла в общем случае имеет вид

Первых два слагаемых в (2.2) — операторы кинетической энергии электронов с массами и ядер с массами последующие слагаемые определяют соответственно энергии попарного кулоновского взаимодействия электронов, взаимодействия всех электронов со всеми ядрами и взаимодействия ядер между собой Радиусы-векторы электронов и ядер обозначены через

Уравнение (2.1) содержит координат частиц, где число атомов в кристалле; заряд ядра. Поскольку уравнение Шредингера не решается точно даже для отдельных атомов, за исключением атома водорода, то естественно, что невозможно найти точное решение (2.1). Поэтому задача сводится к нахождению приближенных решений в рамках физически оправданных упрощающих предположений [38—41].

Зонная теория, лежащая в основе современной физики металлов, диэлектриков и полупроводников, базируется на двух приближениях: адиабатическом, или приближении Борна — Оппенгеймера, и одноэлектронном.

В адиабатическом приближении учитывается различный характер движения легких частиц — электронов и тяжелых частиц — ядер. Вследствие резкого различия их масс движение электронов будет быстрым по сравнению с движением ядер. Поэтому при рассмотрении движения электронов в любой момент времени ядра можно считать неподвижными, а при рассмотрении движения ядер учитывать лишь усредненное по времени поле, создаваемое всеми электронами. На математическом языке это означает, что волновая функция в (2.1) может быть представлена в виде произведения двух функций

одна из которых с описывает медленное движение ядер, а вторая лишь параметрически зависит от координат ядер. Тогда (2.1) распадается на уравнение для электронов

и уравнение для ядер

Обычно движение ядер, т. е. тепловые колебания решетки, рассматривается как возмущения, а в уравнение (2.3) вместо координат ядер подставляют координаты неподвижных узлов решетки. Однако и после этого уравнение Шредингера решить

нельзя. Решение становится возможным только тогда, когда задача о движении многих взаимодействующих частиц сводится к задаче о движении одного электрона в поле всех остальных частиц. Это достигается путем введения так называемого самосогласованного поля

которое равно потенциальной энергии всех электронов, за исключением в той точке, в которой расположен электрон. С помощью гамильтониан системы представляется в виде суммы гамильтонианов, относящихся к отдельным электронам

а волновую функцию в (2.3) можно искать как произведение

где относится к электрону.

Таким образом, уравнение (2.3) распадается на систему независимых уравнений типа

где в объединены и

Решив уравнение (2.5), находят совокупность принципиально возможных состояний для каждого из электронов кристалла. Применив затем статистические методы расчета, легко определить фактические распределения их по состояниям.

Поскольку внутренние поля в кристалле одинаковы в идентичных точках решетки, потенциал будет периодической функцией и будет обладать всеми теми же элементами симметрии, что и сама решетка. Это дает возможность исследовать ряд закономерностей движения электронов в общем виде. Однако до рассмотрения свойств реального трехмерного кристалла необходимо остановиться на некоторых более простых моделях вещества.