Модель Кронига и Пенни. Энергетические зоны.

Одномерная модель Кронига и Пенни — это бесконечная цепочка потенциальных ям прямоугольной формы (рис. 1). Движение электронов в такой системе характеризуется качественно новым и принципиально важным свойством: спектр разрешенных значений энергий электрона состоит не из отдельных уровней, как в изолированных атомах и в модели Зоммерфельда, а из широких зон. Поскольку зонная структура энергетического спектра является фундаментальным и неотъемлемым свойством твердого тела, модель Кронига и Пейни заслуживает детального рассмотрения. Уравнение Шредингера для этой модели решается точно, что позволяет выяснить физический смысл причин, приводящих к образованию зон.

Обозначим ширину потенциальной ямы (рис. 7) через а, а высоту и ширину барьера через соответственно. Очевидно, рассматриваемая цепочка потенциальных ям будет периодической с периодом Уравнение (2.5), описывающее движение электрона в такой системе, принимает вид

где введены обозначения

Уравнению (2.23) удовлетворяют функции а -функции Поэтому волновые функции для трех областей цепочки (рис. 7) равны

Функция выражена через на том основании, что вследствие периодичности системы квадраты модулей функций для идентичных областей должны быть равны Это и означает, что сами функции могут отличаться лишь фазовым множителем

Для нахождения постоянных коэффициентов в (2.26) воспользуемся непрерывностью волновой функции и ее производной во всем пространстве, т. е. наложим на функции условия

Непрерывность производной волновой функции следует из анализа уравнения Шредингера [44].

Подставляя (2.26) в (2.27), находим

Система однородных уравнений (2.28) имеет отличные от нуля решения только в том случае, если ее определитель равен нулю

Раскрыв его, приходим к уравнению

связывающему параметры и а следовательно, и энергию с параметром

В случае, когда ширина потенциального барьера а проницаемость барьера постоянна уравнение (2.30) значительно упрощается. Действительно, если то как . Учитывая (2.25), из (2.30) получим

где

Если высота потенциального барьера то из уравнения (2.31) следует поэтому и энергия могут изменяться непрерывно от нуля до бесконечности. Это случай движения свободных электронов. При и принимают дискретный ряд значений, как в модели Зоммерфельда.

Для промежуточных значений К трансцендентное уравнение (2.31) можно решить графически. На рис. 8 приведен график левой части уравнения (2.31), обозначенной через Две горизонтальные линии, отстоящие от оси х на расстоянии ±1, показывают границы изменения Очевидно, уравнение не имеет решения для тех значений для которых Решения возможны только при условии, что

Как видно из рисунка, совокупность возможных значений образует зоны, чередующиеся с зонами, для которых

Рис. 8. Зоны разрешенных (заштрихованы) значений

отсутствуют решения уравнения Шредингера. Поскольку первое слагаемое в (2.31) содержит в знаменателе ширина разрешенных зон растет с увеличением а запрещенные зоны сужаются и в пределе вовсе исчезают. С ростом энергии вновь осуществляется переход к свободному движению электронов.

В пределах разрешенных зон энергия электрона может изменяться непрерывно, поскольку принимает любое значение от —1 до Однако это справедливо только для бесконечно протяженного кристалла. Реальные кристаллы всегда ограничены, поэтому волновые функции должны удовлетворять условию периодичности Борна — Кармана.

Как уже отмечалось, из требования периодичности квадрата модуля волновой функции следует

Умножив это равенство на находим

Это означает, что произведение

является периодической функцией от с периодом а. Тогда волновую функцию удобно представить в виде

Налагая на (2.33) условие периодичности и учитывая, что получим а

где целое число.

Следовательно, параметр принимает дискретный ряд значений, причем в каждой зоне имеется состояний соответствует одна волновая функция).

Зависящую от времени волновую функцию на основании (2.33) представим в виде

Условно ее можно рассматривать как волну, амплитуда которой не постоянна, а изменяется периодически от х с периодом а. Параметр играет в ней такую же роль, как волновой вектор в уравнении плоской волны, описывающей движение

Рис. 9. Зависимость энергии от квазиимпульса электрона, движущегося в периодическом поле

свободных электронов. Поэтому по аналогии с импульсом свободного электрона величина

называется квазиимпульсом электрона, движущегося в периодическом поле кристалла.

В случае движения свободных электронов их энергия однозначно связана с импульсом Для электронов в кристалле это соотношение теряет силу. Качественно новые черты связи между квазиимпульсом и энергией электрона обнаруживаются уже и в модели Кронига и Пенни.

На рис. 9 приведен график как функции рассчитанный с помощью уравнения (2.31) по формуле Пунктирная кривая (парабола) дает зависимость от для свободного электрона. Для электронов, движущихся в периодическом поле кристалла, почти параболическая зависимость от наблюдается только для удаленных от границ зон Бриллюэна (утолщенные линии на рис. 9). На границах зон утолщенная кривая терпит разрыв, т. е. имеются зоны запрещенных энергий, И зависимость от становится более сложной. Энергия является, во-первых, неоднозначной, а во-вторых, периодической функцией квазиимпульса с периодом постоянной обратной решетки.

Обычно рассматривают в одном периоде для интервала изменений от до Этот интервал называется первой зоной Бриллюэна. Вторую зону Бриллюэна образуют два отрезка: Если их

свести вместе соответствующими концами, то график будет таким же, как и в первой зоне. Третья зона состоит из отрезков

Таким образом, на основании исследования модели Кронига и Пенни можно построить качественно правильную картину энергетического спектра кристалла. Внутренние электроны атомов, мало подверженные действию внешних полей, занимают узкие атомные уровни, а валентные электроны располагаются в широких зонах (рис. 10), состоящих из близко расположенных уровней. Зоны, полностью занятые валентными электронами в соответствии с принципом Паули, называются валентными, а пустые или частично заполненные — зонами проводимости. В теории часто ограничиваются рассмотрением только самой высокой валентной зоны и самой низкой зоны проводимости, поскольку многие физические процессы связаны с движением электронов исключительно в этих зонах.

Процесс возникновения широких энергетических зон в кристаллах можно проследить из следующего мысленного эксперимента. Пусть имеется атомов, которые расположены в пространстве так же, как в кристалле, но на значительно больших расстояниях друг от друга. Орбиты валентных электронов не возмущены. Тогда энергетический спектр системы

Рис. 10. Энергетический спектр кристалла (а) и его образование из дискретных уровней атомов при уменьшении расстояния между узлами решетки (б)

частйц как целого будет совпадать со спектром одного атома, только каждый простой уровень изолированного атома будет -кратно вырожденным. Начнем теперь уменьшать расстояние между атомами. Валентные электроны соседних атомов станут взаимодействовать между собой. Из квантовой механики известно, что такое взаимодействие снимает вырождение уровней. Уровни будут расширяться и расщепляться все больше и больше по мере сокращения расстояния между атомами. Это и приводит к появлению зон (рис. 10).

Характерно, что из состояний каждой зоны состояниям соответствуют положительные значения к. Столько же состояний характеризуются отрицательным значением к. Если все состояния заполнены, то числа электронов, движущихся во взаимно противоположных состояниях, равны, а электрический ток отсутствует. Электроны полностью заполненных зон в переносе зарядов не участвуют.