Правило Урбаха.

Согласно зонной теории, в собственных полупроводниках должны быть резкие границы между

разрешенными и запрещенными зонами энергии. Поэтому коэффициенты поглощения, например, при прямых разрешенных (6.30) и прямых запрещенных (6.31) переходах равны нулю для всех энергий квантов света На опыте, однако, никогда не наблюдаются такие резкие границы в спектрах поглощения. В 1953 г. Ф. Урбах [213] установил, что в щелочногалоидных кристаллах на краю поглощения коэффициент поглощения не обращается в нуль, а убывает по экспоненциальному закону:

где ко, энергетические параметры, характеризующие кристалл. Зависимость от выражается на графике прямой линией, тангенс угла наклона которой равен

В дальнейшем оказалось, что такая форма края поглощения, получившая название правила Урбаха, наблюдается и в других кристаллах при различных механизмах оптических переходов и в частности при экситонном механизме поглощения света.

В работах [214—216] формула (8.48) получена теоретически в предположении, что край полосы поглощения формируется свободными экситонами, взаимодействующими с оптическими фононами с энергией Для параметра получено аналитическое выражение

где независящий от температуры параметр, обратно пропорциональный константе экситон-фононного взаимо-. действия. На основании детального исследования края поглощения в широком интервале температур и коэффициентов поглощения показана справедливость правила Урбаха для полупроводников типа [217—219] и исследован параметр в зависимости от радиуса экситона, степени ионности и других характеристик кристалла.

Формула Урбаха получается также при рассмотрении электрон-фононного взаимодействия [220].

В сильно легированных полупроводниках экситоны не образуются из-за сильного экранирования кулоновского взаимодействия. Однако экспоненциальное убывание коэффициента поглощения наблюдается и в этом случае. Для теоретического объяснения такой закономерности привлекается механизм образования хвостов плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне (§ 2) [57, 64, 221]. Легко показать с помощью простых расчетов, что появление

экспоненциального хвоста плотности состояний в зоне проводимости влечет за собой образование размытого края поглощения, который описывается формулой типа (8.48).

Пусть плотности состояний на хвосте зоны проводимости и в валентной зоне выражаются формулами (см. (3.8)):

где обычно параметр лежит в пределах хвоста зоны проводимости. Предположим, что валентная зона полностью заполнена, зона проводимости пуста, а вероятности оптических переходов с участием хвоста плотности состояний не зависят от и волнового вектора к. Тогда коэффициент поглощения будет равен

Параметр В в (8.51) не зависит от а энергии исходного и конечного состояний при оптических переходах, соответствующих поглощению кванта света с энергией связаны соотношением Учитывая эту связь и вводя новую переменную интегрирования

из (8.51) получим

Так как подынтегральное выражение в (8.52) быстро убывает с ростом то верхний предел интегрирования расширить до Тогда получим

что соответствует правилу Урбаха.

Аналогичные результаты получаются, если предположить, что хвост образуется только около валентной зоны. Фактически хвосты зоны проводимости и валентной зоны образуются одновременно.

Однако при определенных условиях на опыте может проявляться либо только хвост зоны проводимости, либо хвост

валентной зоны. В вырожденных полупроводниках р-типа уровень Ферми может находиться в валентной зоне ниже хвоста плотности состояний. Наличие такого хвоста, свободного от электронов, не отразится на характере зависимости коэффициента поглощения от Наоборот, в полупроводниках -типа уровень Ферми заходит в зону проводимости. Полностью заполненный электронами хвост плотности состояний зоны проводимости тоже не будет участвовать в оптических переходах. Таким образом, имеется возможность по отдельности исследовать форму хвостов зон и по наклону графиков определить значение параметра для обеих зон.