Линейная цепочка, состоящая из атомов двух сортов.

Если около каждого атома рассмотренной выше линейной цепочки разместить атом другого сорта с массой то получится решетка с двумя атомами в элементарной ячейке. Номера новых атомов обозначим Расстояние между соседними атомами равно постоянной решетки а. Коэффициенты квазиупругих сил между атомами обозначим а между атомами

Тогда уравнения движения атомов по аналогии с (4.8) представим в виде [38]:

Здесь по-прежнему учитывается взаимодействие только между соседними атомами: атом с номером взаимодействует с атомами, а атом

Если подставить в (4.25) уравнения бегущих волн с одинаковыми волновыми векторами и частотами но разными амплитудами

получим после сокращения на

Разделив (4.27) на (4.28), приходим к биквадратному уравнению относительно

Если ввести обозначения

то решение (4.29) можно представить в виде

При любых значениях отношений величина поэтому формула (4.30) дает два вещественных значения частоты колебаний для каждого значения волнового вектора Если стремится к нулю, то в то время как (рис. 15). По этому признаку все типы колебаний кристаллической решетки делятся на оптические и акустические а кривые дисперсии соответственно называются оптическими и акустическими ветвями колебаний.

Как видно из (4.30), при всех значениях параметров частота оптических колебаний больше частоты акустических колебаний При малых различие особенно велико, а при больших частоты сближаются.

Однако различие между оптическими и акустическими типами колебаний не сводится к количественно разным значениям частот и Оно лежит глубже и связано с качественно. разным характером самого колебательного процесса. Это становится очевидным при рассмотрении некоторых частных случаев.

Рис. 15. Кривые (ветви) дисперсии для оптических и акустических колебаний линейной цепочки, состоящей из атомов двух сортов

Согласно (4.26) и (4.27), отношение смещений соседних атомрв, принадлежащих к одной элементарной ячейке, равно

Для предельно длинных волн Подставляя в (4.31) значения параметров, получим для акустических и оптических колебаний соответственно

Из (4.32) следует, что в бесконечно длинной волне акустических колебаний все атомы движутся синхронно вправо или влево и смещения из положения равновесия для всех частиц равны. Синхронность смещения всех атомов одной элементарной ячейки сохраняется и для более коротких волн акустических колебаний. Это характерно для колебаний звуковых волн. Поэтому такой тип колебаний назван акустическим. При оптических колебаниях атомы одной ячейки либо движутся навстречу, либо удаляются друг от друга, а центр масс ячейки остается неподвижным, так как В этом случае может происходить электрическая поляризация кристалла и возникнуть переменный дипольный момент, приводящий к поглощению или испусканию электромагнитных волн инфракрасного диапазона. Это послужило основанием назвать указанные колебания оптическими. Однако в принципе, если кристалл состоит из нейтральных атомов, оптические колебания могут и не сопровождаться появлением электрического дипольного момента.

Рассмотрим теперь отношение отклонений (4.31) в случае предельно коротких длин волн, для которых

С учетом (4.30) формула (4.31) преобразуется к виду

Если то числитель равен нулю, а знаменатель либо обращается в нуль, либо равен Он отличен от

нуля для оптических колебаний, если а для акустических при Следовательно, при оптических колебаниях тяжелые атомы неподвижны, а колеблются легкие атомы. В акустической волне наоборот, смещаются тяжелые атомы, а легкие неподвижны. Такой же результат получается, если рассмотреть случай, когда знаменатель обращается в ноль и необходимо раскрывать неопределенность

В другом частном случае, когда из (4.33) находим

и, следовательно, в оптической волне с наименьшим значением атомы движутся в противофазе, а в акустической волне — в фазе.

Численные оценки показывают [80], что частота акустических колебаний изменяется от до 1013 гц и только незначительная их часть гц) приходится на звуковые волны.

Рассмотренные оптические и акустические колебания называются продольными, потому что смещения атомов в них происходит вдоль направления распространения волны. Кроме продольных имеются и поперечные колебания, при которых атомы смещаются по направлениям, перпендикулярным к направлению распространения волны. Так же как и продольные, поперечные колебания делятся на оптические и акустические [82]. При оптических колебаниях атомы одной элементарной ячейки движутся в противофазе, в акустических колебаниях они смещаются синхронно (рис. 16). Поперечные

Рис. 16. Типы колебаний линейной цепочки: а — цепочка в положении равновесия; продольные оптические колебания; в — продольные акустические колебания; поперечные оптические колебания; поперечные акустические колебания

колебания во всех направлениях можно свести к колебаниям в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Гармонические колебания трехмерной решетки. Метод расчета, использованный при рассмотрении линейных цепочек, может быть применен и для изучения колебаний реальных кристаллов. Пусть кристалл состоит из большого числа элементарных ячеек и в каждой ячейке содержится атомов. Массы атомов равны тк, где номер атома Проекцию смещения атома ячейки из положения равновесия на ось а обозначим через Индекс и относится к трем осям координат

В гармоническом приближении предполагается, что колебания атомов по всем степеням свободы происходят независимо друг от друга и упругие силы, возникающие при смещении атома из положения равновесия, прямо пропорциональны величинам смещений Это условие выполняется тем лучше, чем меньше амплитуды колебаний, в чем легко убедиться, если представить потенциальную функцию кристалла в виде разложения в ряд по степеням ].

Обозначая коэффициенты квазиупругих сил через по аналогии с предыдущим, получим систему уравнений для такого же числа неизвестных икпа [83, 84]

Уравнения (4.25) входят в (4.35) как частный случай при В этой системе уравнений, как и ранее, учитывается взаимодействие только ближайших атомов.

Решение системы ищется в виде бегущих волн:

Переход к трехмерному случаю требует введения волнового вектора в общем виде, где единичный вектор нормали

к плоской волне, длина которой равна Величины являются проекциями на оси комплексной амплитуды колебаний атома

Так же как и для одномерного случая, легко показать, что прибавление к волновому вектору вектора обратной решетки определяемого формулой (1.2), не изменяет волновую функцию (4.36). Поэтому произведение можно рассматривать только в первой зоне Бриллюэна (см. (2.40а)).

Подставляя (4.36) и (4.35) и сокращая на находим

где

Если ввести символы Кронекера равные единице при и равные нулю при то (4.38) можно представить в виде

Система дифференциальных уравнений (4.35) свелась к системе однородных алгебраических уравнений. Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю:

Равенство (4.41) есть характеристическое или вековое уравнение степени относительно квадрата частоты колебаний

В общем случае уравнение степени имеет различных корня, определяющих частоту колебаний как функцию волнового вектора (закон дисперсии): где Геометрически зависимость от представляется как гиперповерхность в четырехмерном пространстве. Форма этой поверхности зависит от симметрии кристалла, типа химической связи и числа атомов в элементарной ячейке. Сечение всех гиперповерхностей плоскостью в пространстве изображается кривыми линиями, форма которых зависит от ориентации секущей плоскости.

Рис. 17. Кривые дисперсии для колебаний решетки йодистого натрия (а) и алмаза (б)

Учет симметрии кристаллов показывает, что некоторые ветви колебаний могут быть вырождены, тогда их общее число меньше Например, в линейной цепочке, состоящей из атомов двух сортов, поперечные акустические и оптические колебания двукратно вырождены.

Среди ветвей колебаний 3 всегда принадлежат акустическим ветвям: одна продольная и две (или одна двукратно вырожденная) поперечные. Частота акустических колебаний кристалла как и непрерывной упругой среды, стремится к нулю при и в области малых значений прямо пропорциональна

где коэффициент пропорциональности, зависящий только от направления вектора Если в элементарной ячейке кристалла (например, натрия, калия, рубидия) содержится один атом, то и никаких других колебаний решетки, кроме акустических, не будет. Это подтверждается на опыте [77].

Во всех кристаллах, для которых может быть оптических ветвей колебаний. Полупроводниковые кристаллы элементов IV группы (алмаз, кремний, германий, серое олово) имеют кристаллическую решетку типа алмаза, а соединения типа цинковой обманки. И в том и в другом случае на элементарную ячейку приходится два либо одинаковых, либо разных атома. В таких кристаллах будет

3 акустических и 3 оптических ветви колебаний.

На рис. 17 приведены экспериментальные кривые дисперсии для колебаний решетки йодистого натрия и алмаза [86].

Обозначения ветвей колебаний общепринятые: LO и ТО - продольные и поперечные оптические, LA и ТА - продольные и поперечные акустические. Сокращения образованы первыми буквами английских слов: optical - оптический, acoustic - акустический, longitudinal - продольный, transversal - поперечный.

Как видно из рисунка, в обоих случаях поперечные оптические и акустические колебания двукратно вырождены. В йодистом натрии оптические и акустические ветви разделены запрещенной зоной. В алмазе на границе зоны Бриллюэна в направлении [100] ТО и LA ветви перекрываются. Это связано с тем, что в элементарной ячейке кристаллической решетки алмаза находятся два одинаковых атома.