Функции Блоха.

Рассмотрим теперь общие свойства волновых функций, описывающих движение электрона в трехмерном кристалле как идеально периодической структуре. Пусть решено уравнение Шредингера и найдена волновая функция для некоторой точки кристалла. Постоянные решетки в трех направлениях обозначим через Очевидно, точки, координаты которых отличаются на целое число постоянных решетки будут идентичными в кристалле. Поэтому квадраты модулей волновых функций в этих точках равны между собой:

Следовательно, функции отличаются только на фазовый множитель

где параметры, аналогичные в (2.33).

Вводя радиус-вектор точки и рассматривая как координаты вектора к, последнее равенство можно представить в виде

Здесь учтено также, что координаты вектора трансляции прямой решетки (см. (1.1)).

Если умножить правую и левую части то легко убедиться, что произведение

будет периодической функцией с периодами по осям координат, равными Отсюда приходим к общему выражению для волновой функции

называемой функцией Блоха [45, 46], причем и обладает трансляционной симметрией

Вектор к в функции Блоха является аналогом волнового вектора свободного электрона. В ограниченном кристалле с линейными размерами координаты к принимают дискретный ряд значений (см. (2.15))

Подставляя (2.37) в (2.5), приходим к уравнению для функции

Это уравнение часто используется для исследования общих свойств функций и В частности, из него следует, что энергия электрона является симметричной функцией к. Действительно, заменим в (2.39) и на комплексно-сопряженную функцию и а к на , что равносильно замене на Тогда получим комплексно-сопряженное уравнение для того же значения энергии. Следовательно,

Одно из важнейших свойств блоховских функций — их периодичность в пространстве обратной решетки или в пространстве волнового вектора к. Этот вектор, входящий в фазовый множитель соотношения (2.36), определен неоднозначно. При любом другом векторе где произвольный вектор трансляции обратной решетки (1.2), фазовый множитель имеет то же самое значение:

поскольку целое число.

Поэтому для волновых функций и энергий электрона справедливы равенства

а векторы , отличающиеся на называются эквивалентными. Для одномерного случая соотношение (2.40 а)

было доказано путем прямых расчетов зависимости от к (см. рис. 9). Более строгое доказательство равенств (2.40) приведено в [10].