Фононы.

Хотя решение уравнения движения атомов в кристалле в гармоническом приближении выражается формулой плоских волн типа (4.9), это не означает, что узлы решетки совершают простое колебательное движение с заданной частотой В любом кристалле одновременно происходят колебания всевозможных частот и направлений распространения волн. Так как один и тот же атом участвует во всех типах движения сразу, то его траектория движения может быть весьма сложной. Для линейной цепочки вещественную величину смещения можно представить в виде [38]

где -величины, комплексно сопряженные Как видио из (4.43), смещение атома является сложной функцией времени.

В теории колебаний молекул [85] и кристаллов движение частиц оказывается удобным представлять в некоторых обобщенных координатах, которые называются нормальнымн. Нормальные координаты выбираются так, чтобы уравнения движения, записанные в этих координатах, распадались на систему независимых уравнений типа

Ускорение частицы в нормальных координатах зависит только от значения этой же координаты. Следовательно, нормальные колебания полностью независимы. Если обычная координата дает положение и состояние движения атома, то нормальная координата вместе с обобщенным импульсом

относится ко всему кристаллу в целом и характеризует колебательный процесс в этом кристалле с частотой С помощью нормальных координат колебания кристаллической решетки представляются как суперпозиция простых гармонических колебаний. Это обстоятельство фактически и выражено формулой (4.43). Поэтому можно рассматривать как нормальную координату. Если в кристалле содержится атомов, то число нормальных координат будет равно

Формально кристаллическая решетка заменяется набором гармонических осцилляторов, которые можно рассматривать не только в классической теории, но и в рамках квантовой механики. Из квантовой механики известно [44, 87, 88], что энергия гармонического осциллятора может принимать дискретный ряд значений:

где целые положительные числа. В отличие от классической теории, согласно (4.45), минимальная энергия колебаний решетки не равна нулю, а выражается формулой

Эта так называемая энергия нулевых колебаний. Исследование волновой функции осциллятора при показывает, что она отлична от нуля в некоторой окрестности точки, соответствующей положению равновесия. Следовательно, «заморозить» неподвижно атомы кристалла в решетке невозможно даже при абсолютном нуле.

Поскольку колебательная энергия решетки может изменяться только отдельными порциями или квантами, то по аналогии с частицами света, фотонами, можно ввести понятие частиц колебательного движения — фононов. Энергия и импульс (точнее квазиимпульс) одного фонона сорта равны соответственно где волновой вектор плоской волны с частотой

После этого воздействие колебаний решетки на движение электронов в кристалле можно описать как столкновение частиц — электронов и фононов, или электрон-фононное взаимодействие. Ангармонизм колебаний решетки и взаимное влияние одного типа колебаний на другой (ср. связанные маятники) на квантовомеханическом языке представляется

как рассеяние фононов на фононах, или фонон-фононное взаимодействие. Ангармонизм колебаний атомов необходимо учитывать при изучении многих процессов и прежде всего теплопроводности кристаллов. Если бы фононы не рассеивались на фононах, то их скорость была бы равна примерно скорости звука. Тогда от нагретого участка кристалла тепло передавалось бы к его холодным частям со скоростью порядка см/сек. Из опыта известно, что распространение тепла в кристаллах происходит значительно медленнее. Одна из причин этого — фонон-фононное взаимодействие.

Как будет показано в дальнейшем, фононы играют первостепенную роль при некоторых механизмах поглощения и испускания света в полупроводниках.