§ 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Функция Ферми-Дирака.
Распределение частиц по энергетическим уровням может быть описано одной из следующих трех функций:
а) Максвелла — Больцмана 
б) Бозе — Эйнштейна 
в) Ферми — Дирака 
Здесь 
энергия уровня; 
постоянная Больцмана; 
температура.
Функция Максвелла — Больцмана была получена для классических частиц, которые можно считать различимыми. Постоянная А находится из условия, что сумма частиц на всех уровнях системы равна некоторому заданному и неизменному числу 
Распределение квантовомеханических частиц с нулевым или целым спином описывается функцией Бозе — Эйнштейна. Параметр 
также определяется из условия нормировки. При рассмотрении фотонов и фононов, число которых может не сохраняться, 
полагают равным нулю.
В случае электронов, протонов и нейтронов, обладающих полуцелым спином и подчиняющихся принципу Паули, используется функция Ферми — Дирака, причем входящую в нее
величину 
называют энергией, или уровнем Ферми. Поскольку в дальнейшем в основном будет рассматриваться только эта функция, мы будем обозначать ее через 
без индексов 
Характерно, что вид функции 
не зависит от свойств системы, а зависит только от температуры. Конкретные свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми. Подставляя в 
получим 
т. е. вероятность заполнения уровня Ферми, если ему соответствует реальный уровень энергии, при всех температурах равна половине. Если 
то все уровни энергии, лежащие ниже 
заполнены, а все уровни с 
пусты. Функция 
имеет ступенчатый вид (рис. 13). С увеличением температуры возникает плавный переход от заполненных к незаполненным уровням энергии.
При движении от 
в сторону меньших или больших энергий скорости роста или убывания 
равны, так что всегда 
Для 
Следовательно, интервал энергий, в котором 
изменяется практически от 1 до 0, будет порядка 
(рис. 13). Если 
то единицей в знаменателе (3.3) можно пренебречь, а функция 
переходит в функцию Максвелла-Больцмана (3.1) 
.
Вероятность отсутствия электрона на уровне с энергией 
можно представить в виде
Это и есть функция распределения для дырок. Сравнивая ее с (3.3), легко еще раз убедиться в полной аналогии между положительными дырками и электронами. Различие между ними состоит лишь в том, что при переходе от электронов к дыркам необходимо изменить направление отсчета энергии на противоположное.
В многофазной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, все компоненты
Рис. 13. Функция Ферми-Дирака (сплошные кривые) и ее производная (пунктирные кривые) при 
удовлетворяющая условию 
и отделяющая занятые состояния от незанятых при температуре абсолютного нуля, называется поверхностью Ферми. Здесь через 
обозначено значение 
при 
