Непрямые экситонные оптические переходы.

Если минимум экситонной зоны (рис. 22) расположен не в точке то прямые экситонные переходы запрещены правилом отбора. Экситон не может передать фотону своего импульса, если его величина значительна. В этом случае происходят непрямые оптические переходы, сопровождающиеся поглощением или испусканием одного или нескольких фононов.

Законы сохранения энергии и импульса можно представить в виде

где числа фононов сорта испущенных и поглощенных при оптических переходах;

энергии и волновые векторы испускаемых и поглощаемых фононов. Уравнения (8.12) и (8.13) с верхними знаками описывают процесс аннигиляции экситона, а с нижними знаками — рождение экситона.

Они справедливы и для случая, когда минимум экситонной зоны находится в точке поскольку непрямые экситонные переходы происходят в обоих случаях. Если то в спектре экситонного излучения будут наблюдаться как бесфононные линии, так и их фононные повторения. Если же то бесфононных линий не будет.

В § 4 было показано, Что при уменьшении до нуля волнового вектора фонона энергия акустических фононов стремится к нулю, а оптических — к некоторому постоянному значению Это отличие имеет принципиальное значение для взаимодействия фононов с экситонами. Если волновой вектор экситона мал, то при его аннигиляции может испуститься или поглотиться только оптический фонон, поскольку значение его волнового вектора может быть пренебрежимо малым, чего нельзя сказать об акустических фононах. Следовательно, прямые экситоны, находящиеся при низких температурах на дне энергетической зоны, взаимодействуют прежде всего с оптическими фононами, у которых

Рассмотрим закономерности непрямых экситонных переходов на примере кристалла спектр люминесценции которого при температуре 60 К представлен на рис. 24. Первая узкая линия соответствует бесфононной аннигиляции экситонов из состояния Ее положение в спектре практически совпадает с узкой линией экситонного поглощения. Две другие, более широкие, линии сдвинуты относительно первой в сторону меньших энергий на величину энергии одного или двух продольных оптических фононов и

При изменении температуры ширина бесфононной линии изменяется незначительно, а фононные линии заметно расширяются. Качественно контуры фононных линий напоминают асимметричный график функции максвелловского распределения частиц по энергии (8.5). Однако более детальное изучение контуров одно- и двухфононных линий позволяет установить некоторые тонкие детали механизма их образования [101].

Рис. 24. Спектр экситонной люминесценции кристаллов CdS при [101]

Рис. 25. Сравнение контуров линий однофононной (а) и двухфононной (б) аннигиляции экситонов в CdSe (сплошные кривые) с графиками функций кривые);

Согласно (8.12), при аннигиляции экситона с испусканием одного фотона и возбуждением одного оптического фонона в спектре излучения должна появиться линия, сдвинутая относительно бесфононной линии в длинноволновую сторону на величину В испускании этой линии могут участвовать экситоны с различным значением волнового вектора К. Импульс экситона при его аннигиляции передается фонону. Как было показано ранее (см. рис. 15, 17), частота и энергия квантов оптических фононов слабо зависит от величины волнового вектора. Поэтому все оптические фононы, возбуждаемые в процессе аннигиляции экситонов, будут иметь практически одну и ту же энергию, а вся избыточная кинетическая энергия экситонов будет передаваться фотонам. Если бы вероятность экситон-фононного взаимодействия не зависела от волнового вектора экситона, то контур линии однофононной аннигиляции совпадал бы с графиком максвелловского распределения частиц по энергиям. Расчеты показывают [189], что вероятность такого взаимодействия примерно пропорциональна т. е. линейно зависит от энергии. Поэтому можно ожидать, что контур однофононной линии будет описываться функцией Максвелла (8,5), умноженной на

Действительно, сравнение экспериментального контура однофононной линии аннигиляции экситона в кристаллах CdSe при с графиком функции показало их хорошее соответствие [101] (рис. 25, а). В то же время контур линии двухфононной аннигиляции лучше описывается функцией Максвелла (8,5), что свидетельствует о независимости вероятности одновременного возбуждения двух фононов от волнового вектора экситона. При двухфононной аннигиляции экситон возбуждает различные фононные пары.

Закон сохранения импульса выполняется для многочисленных комбинаций значений импульсов первого и второго фононов. Вероятность взаимодействия как бы усредняется по значению импульса и перестает от него зависеть. Этот вывод подтверждается теоретическими расчетами [190].

Полуширина двухфононной линии равна полуширине максвелловского распределения (8.5) и растет с температурой как Полуширина однофононной линии растет еще быстрее, а именно как [101]. Изменение температуры не только по-разному деформирует контуры фононных линий, но и отражается на относительной их интенсивности.

Обозначая интегральные по спектру интенсивности одно- и двухфононных линий через зависимость отношения от температуры можно представить в виде

где

Такой линейный рост отношения интенсивностей фононных линий наблюдается в кристаллах CdS и CdSe [101].

Хорошее согласие теоретических и экспериментальных результатов, относящихся к экситонной люминесценции, служит прямым доказательством того, что экситоны в кристаллах совершают поступательное движение, характеризуются целым спином и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.

В таких непрямозонных полупроводниках, как кремний и германий, образуются только непрямые экситоны с Поэтому в спектре их экситонной люминесценции бесфононная линия не наблюдается.

Контур однофононной линии поглощения, согласно [181], выражается формулой

где А не зависит от

При учете переходов со всех экситонных уровней зависимость суммарного коэффициента поглощения от частоты дается выражением [107, 126, 181]

где

Для энергий кванта из (8.16) следует простая формула

Если то формула (8.16) переходит в выражение к

совпадающее с формулой для полученной без учета экситонов (см. (6.35)).

Поскольку время жизни экситона достаточно велико для установления равновесного распределения по уровням энергии, то можно пользоваться универсальным соотношением между спектрами поглощения и люминесценции.

Если фоном теплового испускания можно пренебречь, а возбуждение не очень интенсивно то на основании (7.18) и (8.15) спектр однофононной люминесценции можно выразить приближенной формулой

где

Недавно с большой точностью был снят контур экситон-фононной линии излучения в чистом германии при температуре жидкого геллия [191]. Авторы сравнили экспериментальные результаты с контуром линии, рассчитанным по формуле (8.20), в которой энергия фонона взята со знаком минус (рис. 26).

Как видно, на коротковолновом крае контура линии имеется некоторое расхождение теории и эксперимента. Оно связано с расщеплением основного экситонного состояния. Расстояние между подуровнями равно Чтобы внести поправку на это расщепление, теоретически рассчитанный контур линии аппроксимируется функцией

где

Рис. 26. Контуры экситон-фононной линии излучения чистого германия при гелиевой температуре.

Сплошная кривая — экспериментальная, штрих-пунктирная рассчитана по формуле (8.20). Крестиками показана поправка на расщепление основного экситонного состояния. Штриховая кривая внизу — график функции (8.22)

Так как распределение экситонов по уровням энергии описывается функцией Больцмана, то на верхнем подуровне основного состояния экситона их будет в раз меньше, чем на нижнем подуровне. Кроме того, линия излучения, возникающая при оптических переходах с верхнего подуровня, будет смещена в спектре на в коротковолновую сторону по отношению к линии, обусловленной аннигиляцией экситонов с нижнего подуровня. Поэтому поправка к теоретическому контуру линии будет равна

С учетом этой поправки достигнуто хорошее согласие теории и эксперимента (рис. 26). Аналогичные результаты получены для чистого кремния.

Тонкая структура экситон-фононного излучения кремния при зарегистрирована в работе [192]. Используя методы модуляционной спектроскопии [193], по измеренному значению производной авторы определили матричные элементы оптических переходов непрямых экситонов с испусканием и -фононов.