Общее решение системы стационарных кинетических уравнений.

При рассмотрении поглощения, люминесценции и стимулированного испускания в рамках вероятностного метода расчета обычно предварительно находится распределение частиц по энергетическим уровням или функция распределения Положение уровней энергии и вероятности переходов между

ними считаются заданными. Поглощение и люминесценция рассчитываются, как правило, с помощью схемы двух и трех уровней, а генерация и усиление излучения — на основании трех- и четырехуровневых моделей вещества.

В работе [414] развит общий метод расчета функции распределения для системы частиц с произвольным числом уровней энергии и показана возможность выразить зависимость населенности уровней, мощностей поглощения и люминесценции и других характеристик от интенсивности света одними и теми же простыми формулами для всех систем независимо от числа уровней. Эти же формулы для были использованы при расчете генерации и усиления [421]. Уширение спектральных линий предполагается однородным (§ 15).

Пусть имеется совокупность жестко закрепленных частиц каждая из которых обладает уровнями энергии. Частицы взаимодействуют с внешней радиацией, планковским излучением и окружающей средой. На возбуждающий свет не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые вытекают из условий применимости вероятностного метода расчета [422—425].

Вероятности переходов между уровнями будем обозначать через В общем случае они зависят от плотности возбуждающего света, температуры среды и ориентации матричного элемента дипольного момента С помощью коэффициентов Эйнштейна их можно представить в виде

Здесь через обозначены вероятности переходов, индуцируемых внешней радиацией.. Если спектральная плотность возбуждающего света, рассчитанная на единичный телесный угол и одну поляризацию то величины равны [87, 414]

где дифференциальный спектральный коэффициент Эйнштейна; совокупность углов, которые дают ориентацию дипольного момента частицы и электрического вектора падающей радиации (рис. 60).

Интеграл

Рис. 60. Ориентация матричных элементов дипольного момента для переходов

в двух частных случаях может быть заменен приближенными выражениями. Во-первых, если вещество с относительно узкими уровнями энергии возбуждается излучением широкого спектрального состава, тогда можно вынести из-под знака интеграла и поэтому

Во-вторых, если спектральная ширина линии падающего света, в частности генерируемого излучения много меньше естественной ширины линии перехода то за знак интеграла выносится значение коэффициента в частоте облучения

где плотность энергии возбуждающего потока. Поскольку спектральные характеристики для дальнейшего не существенны, то вместо интеграла будет применяться его условная и сокращенная запись Детализация интеграла должна проводиться в каждом конкретном случае отдельно.

Угловую зависимость вероятности перехода удобно выразить с помощью четырех углов (рис. 60).

Первые два угла определяют ориентацию некоторого фиксированного вектора угол между матричными элементами и Угол дает положение на поверхности конуса, осью которого служит вектор

При изотропном распределении число частиц, векторы которых лежат в пределах а векторы

— в интервале от до равно

Эти частицы находятся в тождественных условиях по отношению к возбуждающему свету. Все вероятности переходов у них одинаковы, поэтому функция распределения при

стационарном рёжиме облучения удовлетворяет следующей системе уравнений:

Числа рассчитаны на единичный телесный угол и единицу угла Так как общее число частиц неизменно, а их повороты отсутствуют, то справедливо равенство

Следовательно, из уравнений системы (13.6) линейно независимых будет только

Подставляя произвольное, но фиксированное из (13.7) в (13.6) и отбрасывая уравнение, находим

где введены обозначения

Решение системы линейных уравнений (13.8), как известно, имеет вид

где определитель системы (13.8). Определители получаются из заменой соответствующего столбца на столбец, составленный из коэффициентов Порядок определителей равен так как отсутствует строка и столбец.

Распределение частиц по энергетическим уровням подчиняется некоторым общим закономерностям, которые можно исследовать с помощью формул (13.10). В работе [414] (см. также [87]) показано, что если внешнее излучение частоты индуцирует переходы только между уровнями то населенности этих уровней можно представить в виде

причем Через обозначено значение населенностей уровней при отсутствии возбуждения в одной исследуемой частоте В частном случае, когда все даются формулой Больцмана. Параметры

зависят от всех вероятностей переходов, от всех но не зависят от

В системе с уровнями энергии может быть не более вероятностей переходов Если ни одно из не равно нулю, то определитель содержит слагаемых, каждое из которых будет произведением вероятностей. Для больших функция распределения имеет громоздкий вид. Ее можно несколько упростить, если с самого начала приравнять нулю все вероятности переходов, которые не играют существенной роли в изучаемых процессах.