13.11. Корреляционный метод спектрального анализа

Основы метода.

Теорема Винера — Хинчина. Этот метод основан на теореме Винера — Хинчина, согласно которой спектральная плотность является фурье-образом автокорреляционной функции

Так как — четная функция, то спектр не содержит мнимой компоненты:

Взаимный спектр определяется формулой

Мы можем определить значения автокорреляционной функции в конечном числе точек промежутка, концы которого определяются максимальным сдвигом т. е. мы получаем функцию

Переходя к фурье-образам, находим

Функция определяет фильтрацию спектральной плотности. Отсюда следует, что ширина эквивалентного фильтра равна

Дискретизация. В разд. 9.5 мы видели, что дискретизация сигналов в соответствии с теоремой Шеннона позволяет получить автокорреляционную функцию без дополнительных ошибок по формуле

где

Ниже мы покажем (примечание к разд. 18.4), что разрешается дискретизовать автокорреляционную функцию с тем же шагом (по переменной что и сигнал (по переменной

Оптимальная частота дискретизации.

Мы не можем определить значения автокорреляционной функции для сдвигов от до Коррелометр измеряет корреляционную функцию для конечного числа точек, соответствующих такому же числу различных сдвигов. С помощью коррелометра на точек с интервалом между точками Те корреляционная функция определяется на промежутке где . Если автокорреляционная функция определяется на промежутке длиной то точность анализа не превосходит Следовательно, надо стремиться к тому, чтобы значение было наибольшим. Так как фиксировано, то следует брать возможно большее Те, т. е. возможно меньшую частоту (безусловно, в соответствии с теоремой Шеннона).

Как это ни странно, наибольшая определенность спектра соответствует такому расположению точек на графике корреляционной функции, при котором точки возможно дальше отстоят одна от другой. На рис. 13.24 приведены примеры наилучшего распределения точек.

Число точек спектра.

Пусть В — ширина спектра сигнала представленного в дискретной форме с частотой Поскольку спектральная плотность является фурье-образом функции и так как определена на промежутке , где число точек коррелометра, то нужно дискретизовать с шагом или .

Рис. 13.24. (см. скан)

Наименьшее число точек спектра (в области положительных частот), которые надо рассчитать, равно Конечно, для визуального исследования спектра надо иметь гораздо большее число точек (разд. 7.5).

Преимущество корреляционного метода по сравнению с методом статистического усреднения состоит в том, что преобразование Фурье применяется только один раз; поэтому не обязательна быстрая его реализация. Но если нет необходимости в быстром преобразовании Фурье, можно вычислить столько значений спектральной плотности, сколько нужно для достаточно качественной визуальной оценки спектра, или же можно применить метод спектральной лупы, распределяя точки на том участке спектра, где это необходимо.

Весовая функция.

В неблагоприятных случаях, а именно при анализе спектров, имеющих, с одной стороны, большую протяженность, а с другой — узкие пики, разрешающая способность анализирующего устройства может оказаться недостаточной. График который при этом получается, более чувствителен к паразитным колебаниям. В такой ситуации корреляционная функция берется с множителем — весовой функцией. Эта функция не увеличивает разрешающую способность, но она сглаживает паразитные колебания, благодаря чему можно отделить истинные пики от ложных (при этом часть истинных пиков может быть потеряна).

Итак, следует иметь в виду, что любая весовая функция, сглаживающая спектр, не только уменьшает паразитные осцилляции, но и делает спектр менее точным. В связи с этим нужно применять весовую функцию с особой осторожностью; систематическое ее применение не рекомендуется. В сомнительных случаях желательно проводить все расчеты не только с весовой функцией, но и без нее.