7.5. Выбор частоты дискретизации на практике

Для ответа на вопрос: «Как следует на практике производить дискретизацию сигнала?» — необходимо знать, с какой целью осуществляется эта операция; в целях дальнейших вычислений или в целях восстановления сигнала, например восстановления его непрерывного аналога.

Дискретизация в целях дальнейших вычислений.

Рассмотрим функцию независимой переменной Для упрощения дальнейших вычислений предположим (впрочем, это не изменяет дальнейших результатов), что носителем фурье-образа является интервал Согласно теореме Шеннона, шаг дискретизации должен удовлетворять неравенству Если дискретизация функции произведена при выполнении этих условий, то по значениям функции в точках дискретизации можно восстановить непрерывный сигнал для всех точек между точками дискретизации. Используя интерполяционную формулу Шеннона, получаем

Итак, вычисление любых значений функции сводится к вычислению только значений в точках дискретизации, т. е. вся информация о функции содержится в точках дискретизации.

Пример 1. Вычислим среднее значение функции

Имеем

Изменив порядок интегрирования и суммирования, получаем

Но

Поэтому

Отношение равно числу точек дискретизации функции Получаем окончательно

Пример 2. Вычислим корреляционную функцию

Имеем

Но

Отсюда

Положим . Тогда

где Отсюда получаем выражение

Из него следует, что дискретизация сигнала приводит к дискретизации корреляционной функции.

Пример 3. Вычислим фурье-образ функции . Из выражения (7.32) получаем

Последний интеграл есть фурье-образ функции

Имеем

Следовательно,

где

Окончательно получаем

Из последнего выражения следует, что фурье-образ равен нулю вне интервала , где — шаг дискретизации сигнала Последнее выражение можно записать также в виде

Итак, для вычисления фурье-образа сигнала на интервале и вычисления для всех значений достаточно знать значения сигнала только в точках дискретизации при условии, что шаг дискретизации удовлетворяет теореме Шеннона.

Дискретизация с целью восстановления непрерывного сигнала.

Хотя интерполяционная формула Шеннона (7.7) теоретически и обоснована, ее практическое применение, особенно при приближенных вычислениях, затруднительно. На практике важно знать минимальное расстояние между двумя соседними точками дискретизации на временной оси, позволяющее применить достаточно простую интерполяционную формулу и тем самым восстановить непрерывный сигнал. Наиболее простой является линейная интерполяция с последующим применением низкочастотной фильтрации с целью сглаживания угловых точек интерполяционной линии (такой тип интерполяции соответствует распространенному на практике методу получения графиков, когда экспериментальные точки соединяются вручную). Следовательно, частота дискретизации зависит от допустимой ошибки при восстановлении функции по ее дискретным значениям и, конечно, от формы сигнала. Эта ошибка может быть

вычислена обычным способом, поскольку она не является статистической.

Обозначим через точный и восстановленный сигналы. Пусть где в качестве берется максимальное значение Можно доказать, что для синусоидального сигнала частоты частота дискретизации должна удовлетворять неравенству

где — допустимая ошибка. Если то т. е. частота дискретизации должна быть приблизительно в 10 раз. больше частоты Шеннона.

Пусть спектр сигнала обрезан максимальной частотой Доказано, что в этом случае также

Например, если ошибка то должно быть Можно доказать, что если в окрестности частоты среза проводится ослабление спектра с помощью фильтра по закону дБ на декаду), то должно выполняться неравенство , где — частота среза фильтра, а не максимальная частота спектра. Под максимальной частотой спектра следует всегда понимать такую частоту, когда можно пренебречь, влиянием на сигнал всех частот, больших При этом справедливо неравенство , где а - коэффициент, учитывающий эффект обрезания спектра на частоте FM. Например, для одного процента вклада этого эффекта получаем Полагая получаем т. е. частота дискретизации оказывается почти равной частоте Шеннона.