Главная > Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.5. Выбор частоты дискретизации на практике

Для ответа на вопрос: «Как следует на практике производить дискретизацию сигнала?» — необходимо знать, с какой целью осуществляется эта операция; в целях дальнейших вычислений или в целях восстановления сигнала, например восстановления его непрерывного аналога.

Дискретизация в целях дальнейших вычислений.

Рассмотрим функцию независимой переменной Для упрощения дальнейших вычислений предположим (впрочем, это не изменяет дальнейших результатов), что носителем фурье-образа является интервал Согласно теореме Шеннона, шаг дискретизации должен удовлетворять неравенству Если дискретизация функции произведена при выполнении этих условий, то по значениям функции в точках дискретизации можно восстановить непрерывный сигнал для всех точек между точками дискретизации. Используя интерполяционную формулу Шеннона, получаем

Итак, вычисление любых значений функции сводится к вычислению только значений в точках дискретизации, т. е. вся информация о функции содержится в точках дискретизации.

Пример 1. Вычислим среднее значение функции

Имеем

Изменив порядок интегрирования и суммирования, получаем

Но

Поэтому

Отношение равно числу точек дискретизации функции Получаем окончательно

Пример 2. Вычислим корреляционную функцию

Имеем

Но

Отсюда

Положим . Тогда

где Отсюда получаем выражение

Из него следует, что дискретизация сигнала приводит к дискретизации корреляционной функции.

Пример 3. Вычислим фурье-образ функции . Из выражения (7.32) получаем

Последний интеграл есть фурье-образ функции

Имеем

Следовательно,

где

Окончательно получаем

Из последнего выражения следует, что фурье-образ равен нулю вне интервала , где — шаг дискретизации сигнала Последнее выражение можно записать также в виде

Итак, для вычисления фурье-образа сигнала на интервале и вычисления для всех значений достаточно знать значения сигнала только в точках дискретизации при условии, что шаг дискретизации удовлетворяет теореме Шеннона.

Дискретизация с целью восстановления непрерывного сигнала.

Хотя интерполяционная формула Шеннона (7.7) теоретически и обоснована, ее практическое применение, особенно при приближенных вычислениях, затруднительно. На практике важно знать минимальное расстояние между двумя соседними точками дискретизации на временной оси, позволяющее применить достаточно простую интерполяционную формулу и тем самым восстановить непрерывный сигнал. Наиболее простой является линейная интерполяция с последующим применением низкочастотной фильтрации с целью сглаживания угловых точек интерполяционной линии (такой тип интерполяции соответствует распространенному на практике методу получения графиков, когда экспериментальные точки соединяются вручную). Следовательно, частота дискретизации зависит от допустимой ошибки при восстановлении функции по ее дискретным значениям и, конечно, от формы сигнала. Эта ошибка может быть

вычислена обычным способом, поскольку она не является статистической.

Обозначим через точный и восстановленный сигналы. Пусть где в качестве берется максимальное значение Можно доказать, что для синусоидального сигнала частоты частота дискретизации должна удовлетворять неравенству

где — допустимая ошибка. Если то т. е. частота дискретизации должна быть приблизительно в 10 раз. больше частоты Шеннона.

Пусть спектр сигнала обрезан максимальной частотой Доказано, что в этом случае также

Например, если ошибка то должно быть Можно доказать, что если в окрестности частоты среза проводится ослабление спектра с помощью фильтра по закону дБ на декаду), то должно выполняться неравенство , где — частота среза фильтра, а не максимальная частота спектра. Под максимальной частотой спектра следует всегда понимать такую частоту, когда можно пренебречь, влиянием на сигнал всех частот, больших При этом справедливо неравенство , где а - коэффициент, учитывающий эффект обрезания спектра на частоте FM. Например, для одного процента вклада этого эффекта получаем Полагая получаем т. е. частота дискретизации оказывается почти равной частоте Шеннона.

1
Оглавление
email@scask.ru