2.6. Некоторые свойства преобразования Фурье

Линейность.

Преобразование Фурье — линейная операция (рис. 2.4), т. е.

где — любые постоянные числа.

Четность.

Свойства четности преобразования Фурье сведены в следующую таблицу: (см. скан)

Для любой функции вещественной или комплексной из следует ( - комплексно-сопряженные величины)

Рис. 2.6. а — графики функции — трехмерное представление фурье-образов функции в — двумерное представление фурье-образов функции (сплошные линии — вещественные части, штриховые линии — мнимые части). (см. скан)

Фурье-образы функций связаны друг с другом простыми отношениями:

Подобие. Если , то

Из выражения (2.20) следует, что увеличение масштаба времени приводит к уменьшению масштаба по оси частот, и наоборот. На рис. 2.5 приведено несколько примеров, иллюстрирующих свойство подобия.

Смещение.

Если то

Рис. 2.7. (см. скан)

Из выражения (2.21) следует, что фурье-образы функций имеют одинаковый модуль, а смещение на величину а приводит лишь к дополнительному вращению фазы на величину На рис. 2.6 приведен пример смещения для функции фурье-образ которой представляет собой совокупность двух импульсов Дирака.

Малое смещение аргумента по отношению к величине области, где физическая функция отлична от нуля, вызывает небольшую деформацию действительной и мнимой частей фурье-образа. Если смещение велико, то оно приводит к появлению колебаний фурье-образа. На рис. 2.7 рассмотрен случай функции фурье-образ которой — селектирующее окно. Свойство смещения обратимо, т. е.

Рис. 2.8 а.

Покажем в качестве примера, как с помощью свойства смещения можно выразить фурье-образ функции через обобщенную функцию Дирака, для которой фурье-образ есть постоянная величина (рис. 2.8а).

Имеем

Отсюда (рис. 2.86).

Примечание. Использование терминов «функция Дирака» или «импульс Дирака» вместо «обобщенная функция Дирака» не является корректным, так как не является ни функцией в классическом смысле, ни импульсом. Функция должна рассматриваться как обобщенная функция в смысле определения обобщенной функции, данного Л. Шварцем.

Производная. Если , то

Важный частный случай (рис. 2.9).

Селектирующая функция (прямоугольная функция). В качестве другого примера

Рис. 2.8 б.

Рис. 2.9. (см. скан)

рассмотрим селектирующую функцию определяемую равенством

Имеем

Функция физически нереализуема, так как ее область определения содержит отрицательные значения времени. Если осуществить смещение времени на величину Т, то получаем физически реализуемую функцию фурье-образ которой дается формулой

Действительная и мнимая части, модуль и фаза фурье-образа

функции записываются соответственно в виде

Другие важные частные случаи.

Формула Пуассона. Если то

Обобщенная функция Дирака. Известно, что функция представляющая центрированный относительно мгновенный импульс единичной площади, имеет фурье-образ, равный 1. Отсюда

Гребневая функция Дирака, или функция По определению -периодическая функция с периодом Т вида

Справедливы также формулы

Соотношение (2.25) можно записать в виде

Формулу (2.26) часто называют формулой Пуассона.