8.2. Величина, характеризующая «связь» между двумя физическими процессами. Случай, когда известна одна реализация физического процесса, наблюдаемая в течение большого интервала времени

До сих пор предполагалось, что мы имеем большое число реализаций в фиксированный момент времени одного и того же физического процесса. Однако в большинстве случаев получение большого числа реализаций процесса невозможно. В качестве примера рассмотрим измерение напряжения на выходе усилителя.

Невозможно иметь большое число одинаковых усилителей, но, даже если бы мы и располагали ими, измерение напряжений в один и тот же момент времени на выходе всех усилителей представляло бы сложную проблему. В подобных случаях легко осуществить только одну реализацию процесса, но для сколько угодно большого промежутка времени.

Попытаемся ответить на вопрос: можно ли установить связь между двумя физическими процессами, зная лишь одну реализацию этих процессов на промежутке длины или Связь между двумя процессами можно характеризовать, как это сделано было выше с помощью коэффициента а, при котором значение разности является минимальным. Интуитивные соображения подсказывают, что такой выбор коэффициента а позволяет наилучшим образом производить «наложение» функций на интервале их задания. Следовательно, вместо вычисления мгновенных значений разности следует вычислить величину

Величина принимает минимальное значение, равное

нулю, если где

Как уже было отмечено в предыдущем разделе при вычислении среднего значения большого числа реализаций, сравнение двух процессов с помощью только средних значений не всегда является содержательным, поскольку средние значения могут быть равными, даже если сильно отличаются друг от друга.

Примечание, Строго говоря, величина не является средним значением функции Среднее значение функции определяется выражением

Величина измеренная на интервале Т, называется оценкой среднего значения. Можно вычислить ошибку оценки среднего значения (гл. 9). Здесь в целях удобства используется термин «среднее значение» вместо «оценка среднего значения».

Более содержательный коэффициент, характеризующий связь между двумя процессами, может быть получен с помощью квадрата разности Для получения значения этого коэффициента используем средние значения функций на интервале их определения. Имеем

или

где - среднее временное значение произведения Величина коэффициента при которой функция принимает минимальное значение, определяется из выражения

и называется коэффициентом регрессии х относительно у. Минимальное значение принято называть средним квадратичным отклонением для

Имеем

Величина

называется коэффициентом корреляции.

Для среднего квадратичного отклонения получаем формулу

Если то случайные функции полностью коррелированы. Если же то процессы не коррелируют между собой. Как и в предыдущем разделе, величина

называется среднеквадратичным значением функции Если центрирована, то среднеквадратичное значение называют дисперсией и обозначают Величину называют среднеквадратичным отклонением случайной функции

Только что было отмечено, что равенство нулю коэффициента корреляции означает отсутствие корреляции между случайными функциями. Из отсутствия корреляции не следует независимость случайных функций. Но если то с помощью средних значений нельзя представить энергию взаимодействия. Это очень важный вывод, подробное обсуждение которого проведено в разд. 8.4. Отметим, что из независимости двух случайных функций следует равенство нулю коэффициента корреляции.

Как и для случая большого числа реализаций случайных процессов, попытаемся сравнить две случайные функции после сдвига во времени. Рассмотрим две функции и коэффициент корреляции как функцию сдвига:

Коэффициент можно выразить через двумерную плотность вероятности

Автокорреляция.

Можно сравнить случайную функцию на интервале с той же функцией аргумент которой смещен на величину Такое сравнение позволяет по крайней мере качественно установить влияние предыстории процесса на его дальнейшее развитие. Если, например, -периодическая функция, а сдвиг кратен периоду этой функции, то получаем максимум «сходства» между т. е. модуль корреляционной функции принимает максимальное значение. Это свойство автокорреляционной функции позволяет выявлять периодичность функции, возможно не обнаруженную при первоначальном исследовании.

Стационарность.

Если процесс стационарен, то его статистические характеристики не зависят от местоположения рассматриваемого промежутка времени. Следовательно, для стационарных процессов автокорреляционная функция не зависит от начала отсчета

Аналогично для двух стационарных процессов корреляционная функция не зависит от

Как уже говорилось выше (для случая большого числа реализаций случайного процесса), свойство стационарности позволяет в какой-то степени «предсказывать» развитие процесса, если известны «средние» характеристики. Например, в метеорологии предсказание какого-либо природного явления основано на анализе прошлого.

Пример корреляционной функции из физики.

Рассмотрим стационарное световое излучение. Если источник излучения некогерентен, то излучение описывается стационарной случайной функцией Тогда световому излучению того же источника в момент соответствует стационарная случайная функция Явлению интерференции будет соответствовать функция Средняя энергия интерференции при запаздывании определяется выражением

Отсюда получаем

Слагаемое определяет изменение средней энергии в зависимости от запаздывания . Следовательно, автокорреляционная функция описывает форму интерференционных полос.