8.3. Эргодичность

Мы уже говорили выше, что в большинстве случаев более удобно вычислять не средние величины, соответствующие большому числу реализаций, а величины, усредненные по времени, поскольку гораздо легче получить одну реализацию случайного процесса на достаточно большом временном интервале, чем большое число различных реализаций этого процесса. В отличие, например, от опроса общественного мнения, когда имеют дело с большим числом реализаций, в физике, вообще говоря, нельзя провести большое число одновременных измерений из-за ограниченного числа измерительных устройств.

Поэтому возникает вопрос: будут ли одинаковыми результаты, полученные на основе анализа величин, усредненных во времени, и величин, усредненных по множеству реализаций? Доказано, что положительный ответ на этот вопрос имеет место, если случайный процесс эргодичен.

Дадим физическую интерпретацию понятия эргодичности. Выше было показано, что для выявления связи между двумя случайными процессами необходимо рассмотреть большое число реализаций в момент времени Если число реализаций достаточно велико, то будет известно множество всех возможных значений Для того чтобы усредненные на достаточно большом временном интервале величины, вычисленные на основе одной реализации случайного процесса, давали тот же результат, функция должна принимать все множество значений Иначе говоря, случайный процесс эргодичен, если в любой момент времени возможны любые значения, совместимые с дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет этот процесс.

На практике используется также понятие квазиэргодичности. Процесс называется квазиэргодическим, если среди значений любого фиксированного множества случайных функций, соответствующих нескольким реализациям одного случайного процесса, найдутся такие, которые сколько угодно близки к любому возможному значению. Основное преимущество эргодических процессов состоит в том, что для таких процессов в условиях ограниченного числа измерительных устройств средние по множеству реализаций можно заменять временными средними.

Итак, среднее значение среднеквадратичное значение и среднее значение произведения определяются

равенствами

а функция корреляции равна

где Т должно быть выбрано как можно большим (поскольку точные значения средних величин получаются при