7.4. Дискретизация фурье-образов

Для более точного вычисления фурье-образов обычно применяются не аналоговые, а дискретные преобразователи Фурье, кроме, конечно, преобразованных сигналов в оптике. Электронные и электрохимические преобразователи Фурье основаны на дискретном изменении частоты при вычислении фурье-образов. Поскольку частота изменяется дискретно с шагом возникает проблема влияния дискретизации частоты для фурье-образов. Для ее решения необходимо применять теоремы дискретизации.

Рассмотрим вещественный сигнал длительностью Т, т. е. вне интервала (рис. 7.5). Пусть существует фурье-образ

Рис. 7.5.

Согласно теореме Шеннона, шаг дискретизации функции должен удовлетворять неравенству Вычисление всегда проводится путем раздельного вычисления Поэтому теорема дискретизации должна быть применена отдельно Имеем

Используя свойства эрмитовой симметрии, запишем выражение (7.30) в виде

Отсюда получаем два соотношения

Из формулы (7.31) видно, что носители оригиналов Фурье для фурье-образов совпадают с интервалом (рис. 7.6). Следовательно, шаг дискретизации функций должен удовлетворять неравенству

Рис. 7.6.

Легко видеть, что если носитель совпадает с интервалом то шаг дискретизации частоты может удовлетворять неравенству

Рассмотрим теперь модуль функции Имеем

Если носитель функций совпадает с интервалом то по определению свертки носитель произведения сверток функций совпадает с интервалом . В этом случае носитель фурье-образа совпадает с интервалом и поэтому шаг дискретизации функций или должен быть меньше или равен Пусть

дискретизованный сигнал известен в точках временной оси. Обозначим через частоту дискретизации. Тогда расстояние между соседними точками дискретизации , а длина интервала задания сигнала . Предположим, что начало координат расположено в середине интервала задания сигнала, т. е. носитель сигнала совпадает с интервалом Шаг дискретизации частоты должен удовлетворять неравенству

где и В — верхняя граница спектра. Поэтому число точек дискретизации спектра (рассматриваются только положительные частоты) равно Следовательно, вся информация о фурье-образе сигнала содержится в этих точках. Если же рассматривается модуль спектральной функции то число точек дискретизации необходимо увеличить в два раза, т. е.

Для правильного восстановления функций между точками дискретизации, т. е. правильного интерполирования функций, необходимо всегда выполнять данные условия относительно числа точек дискретизации. Никогда не следует забывать, что сигналы в общем случае не являются периодическими, и поэтому их спектр непрерывен.