10.4. Вычисление дисперсии. Состоятельность оценки

Определение точности коррелометра.

Устройство, осуществляющее обработку сигналов в цифровой форме, оперирует с дискретизованными сигналами. Поэтому получаемая оценка

корреляционной функции имеет вид

в то время как точное значение определяется равенством

Предположим, что вспомогательные шумы удовлетворяют условиям предыдущего раздела и, следовательно, коррелометр не дает смещения, т. е.

При выполнении этих условий дисперсия оценки которая характеризует суммарное «рассеивание» возможных значений относительно точного значения, запишется в виде

Вычислим значение последнего выражения, которое представляет собой среднюю ошибку измерений.

Вычисление дисперсии ошибки.

Подставим в выражение (10.20) равенства (10.17) и (10.18). Учитывая равенства (10.19) и (поскольку - неслучайная величина), имеем

При выполнении условий, налагаемых на шум, выше было доказано равенство Покажем теперь, что при выполнении дополнительной гипотезы относительно шума справедлива формула

где

Для этого выразим левую часть выражения (10.22), которая представляет собой момент четвертого порядка, через характеристическую функцию совокупности

случайных величин Имеем

Обозначив через характеристическую функцию совокупности случайных величин по аналогии с выражением (10.6) получаем равенство

где через Мы обозначены характеристические функции совокупностей случайных величин

Предположим, что члены последовательности значений случайных шумов независимы (в частности, из этого следует, что шумы являются широкополосными). Тогда

Из исследований, проведенных в работе [1], вытекает, что ошибка в этих условиях будет минимальной. Ниже мы будем считать, что наше предположение выполнено, и рассмотрим его применение для одного идеального предельного случая. Нам осталось вычислить выражение

где определяется выражением (10.24). При вычислении производной каждого слагаемого правой части (10.24)

появляются выражения двух типов: выражение вида

и выражения, содержащие смешанные производные ниже четвертого порядка от функции и первые производные других слагаемых.

Если положить то с учетом условий (10.8) все члены равны нулю, кроме одного, для которого Этот единственный ненулевой член, имеющий вид (10.25), равен

Тогда из выражений (10.23) и (10.24) следует справедливость доказываемого соотношения (10.22).

Поэтому с учетом выражения (10.25) имеем

Используя стационарность, получаем равенства, справедливые для любого

Окончательно получаем

Интерпретация. Ошибка и сходимость.

Выражение (10.26) можно записать в виде где

Если в коррелометр не добавляется шум и не осуществляется дискретизация, то Следовательно, ошибка не связана с использованной техникой для расчета корреляции (добавление шума и дискретизация). Эта ошибка корреляционной функции обусловлена только конечностью выборки, т. е. наблюдением сигнала на промежутке конечной длины. Это первый тип ошибки, изученный выше в гл. 9 (статистическая ошибка).

Из выражения (10.27) следует, что точное значение зависит от статистических моментов четвертого порядка входного сигнала. Ошибка 82, напротив, зависит от выбранной системы. Действительно, выражение зависит не только от входных сигналов, но и от способа их обработки (добавления шума и дискретизации). Следовательно, ошибка определяет качество коррелометра.

Сходимость. Когда объем выборки стремится к бесконечности, обе ошибки стремятся к нулю. В этом случае говорят, что имеет место сходимость коррелометра. Ошибка при вследствие ее статистического характера. Напротив, при лишь при выполнении условий, налагаемых на шум и гарантирующих несмещенность оценки за счет коррелометра. Это непосредственно следует из выражения (10.28), поскольку для стационарных сигналов математическое ожидание, входящее в выражение (10.28), ограничено. Оценка корреляционной функции с помощью коррелометра будет тем лучше, чем более точное значение оценки получается на выборках небольшого объема. Поэтому следует искать такую систему, для которой ошибка 82 наиболее быстро стремится к нулю с возрастанием

Рис. 10.7. Числовой коррелометр.