10.3. Условия на вспомогательные шумы, при которых отсутствует смещение оценки корреляционной функции
Общие условия.
Характеристическая функция двух сигналов 
после добавления шума и дискретизации дается выражением, аналогичным выражению (10.6), в котором 
характеристическая функция 
сигналов 
и после добавления шума, но до дискретизации. Условие отсутствия смещения за счет коррелометра записывается в виде
Это условие будет выполнено, если имеют место равенства
Из равенства (10.13) получаем 
Если шумы 
центрированы и независимы между собой и по отношению к сигналам 
то равенство (10.13) выполнено. Кроме того, для характеристической функции случайных величин 
будет справедливо равенство
Условия выполнения равенства (10.14) следуют из формул, полученных в разд. 10.1, и из равенства (10.15). Эти условия имеют следующий простой вид (для 
где 
— любые целые числа 
Итак, мы получили условия, налагаемые на два вспомогательных шума, при выполнении которых оценка корреляционной функции не смещена:
• шумы центрированы;
• шумы независимы между собой и по отношению к входным сигналам (независимость в смысле теории вероятности);
• характеристические функции удовлетворяют равенствам (10.16).
Шумы, удовлетворяющие равенствам (10.16).
Поскольку выбранный шум центрирован, можно предполагать, что плотность вероятности 
— четная функция. Тогда характеристическая функция 
будет вещественной и четной. Кроме того, как и для любой характеристической функции, выполнены условия 
Следовательно, с учетом равенств (10.16) и предыдущих предположений характеристическую функцию можно представить в виде
где 
— символ произведения, 
-непрерывная функция, 
Из равенства 
следует 
Для частного случая, когда 
для любых 
можно доказать, что
Отсюда
(символ 
означает свертку функции с собой 
раз). В частности, если 
то 
Вывод. Добавление к входным сигналам равномерно распределенных на отрезке 
шумов не вызывает смещения оценки корреляционной функции. Такой вывод полностью согласуется с результатами разд. 9.1 (гл. 9), поскольку, как мы уже доказали, добавление равномерно распределенных на отрезке 
шумов эквивалентно дискретизации с шагом 
Этот результат имеет огромное практическое значение, так как легко генерировать именно равномерно распределенные шумы.
