9.7. Идеальный интегратор и низкочастотный фильтр

Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что интегрирование на интервале производится с помощью идеального интегратора:

где

Во многих случаях проще использовать не интегратор, а низкочастотный фильтр с временной постоянной

Следовательно, необходимо выяснить влияние величины временной постоянной на ошибку оценки.

Вычисление смещения.

Пусть - импульсный отклик фильтра Тогда среднее значение сигнала на временном интервале вычисленное с помощью фильтра, определяется выражением

где .

Используя теорему Фубини, получим

Следовательно, величина смещения равна Для величина относительного смещения меньше 0,001, а для она меньше .

Вычисление дисперсии.

Имеем

Если удовлетворяет сформулированным выше условиям, то

Пусть Тогда

Если (на практике достаточно то

При использовании идеального интегратора дисперсия имеет значение, равное Следовательно, применение -фильтра, временная постоянная которого равна 0, эквивалентно интегрированию на промежутке длиной 20.

При численной реализации экспоненциальная (скользящая) средняя величина, определяемая числовым рекурсивным фильтром (гл. 19) , имеет дисперсию и смещение . Часто полагают , где — период дискретизации.

Итак, числовой фильтр эквивалентен непрерывному фильтру с временной константой .