Глава 9. ОЦЕНКА ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ

Понимать то, что мы знаем, и познавать то, чего мы не знаем, — вот истинная наука. (Конфуций)

При измерении сигналов возникают ошибки двух типов:

• ошибки оценки или статистические ошибки, появление которых связано с заменой бесконечного интервала усреднения интервалом конечной протяженности;

• систематические ошибки, происхождение которых связано с неточной реализацией математических операций (сложение, умножение, кодирование и т. д.) с помощью физических средств.

Мы рассмотрим главным образом «ошибки дискретизации», обусловленные ограниченным числом элементов при цифровом кодировании. Эти ошибки подробно изучены в гл. 10.

9.1. Оценка средних значений

Ошибка оценки.

Пусть - случайная функция переменной . По определению средним значением функции имеющей бесконечное число реализаций является величина

Если случайный процесс эргодичен и стационарен, то среднее значение (выражение (9.1)) множества реализаций может быть подсчитано по формуле

Следовательно, точная величина среднего значения может быть вычислена либо с помощью бесконечного числа реализаций либо на основе регистрации сигнала на временном промежутке бесконечной длины. Если среднее значение подсчитывается на основе конечного числа реализаций или на основе регистрации сигнала на конечном временном промежутке, то

вместо точной величины среднего значения получаем ее оценку

Нет никакого основания считать заранее, что Замена оценкой приводит к ошибке оценки.

Смещенность оценки.

Говорят, что оценка смещена, если Имеем

Отсюда

Используя теорему Фубини, изменим в выражении (9.4) порядок применения оператора Е и операции интегрирования:

Поскольку постоянная величина, получаем

т. е. оценка не смещена (в разд. 9.7 будет рассмотрена смещенная оценка).

Дисперсия оценки.

Оценка отличается от точного значения дисперсией случайной величины

Часто дисперсию смешивают со среднеквадратичным смешением:

Дисперсия и среднеквадратичное смещение совпадают, если оценка не смещена, т. е.

Вычислим

Известно, что

где - постоянная величина. Поэтому

Для вычисления используем эргодичность и стационарность случайного процесса Получаем равенства

Отсюда

Используя теорему Фубини, получаем

Известно, что

где - автокорреляционная функция случайного процесса вычисленная для значения аргумента . Поэтому

Вычислим интеграл более общей формы, чем в правой части равенства (9.12) (этот интеграл мы будем рассматривать в разд. 12.1 и 12.2):

Выполним замену переменных и найдем . Якобиан, соответствующий этой замене переменных, равен

Вычислим границы интегрирования. Из рис. 9.1 видно, что необходимо рассмотреть отдельно случаи

Получаем

Если обозначить

Пусть — первообразная функция Тогда

Последнее равенство можно записать в виде

Для вычисления интеграла достаточно использовать формулу (9.14), положив Тогда

Рис. 9.1.

Используя -функдию (выражение (2.48)), получаем

Рассмотрим корреляционную функцию центрированной случайной функции

Известно, что поэтому Из выражений (9.12) и (9.16) следует равенство

Используя формулу (9.9), получаем

Из выражений (9.17) и (9.15) находим

Итак, для вычисления дисперсии оценки необходимо знать корреляционную функцию . Полученный результат является частным случаем более общего утверждения: для вычисления дисперсии оценки статистического момента порядка необходимо знать моменты порядка

Выражение (9.18) можно записать в следующем виде:

поэтому получаем

Если функция мало изменяется в области, где нельзя пренебречь величиной , то

Пусть для которой вычисляется оценка среднего значения, представляет собой белый шум, пропущенный через низкочастотный фильтр с полосой В (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Тогда поскольку . Поэтому получаем формулу

Если

Последнее выражение справедливо для белого шума, пропущенного через идеальный низкочастотный фильтр. Предположим, что она справедлива и для общего случая. Из выражения (9.19) следует, что среднеквадратичнное отклонение оценки равно

где В — полоса пропускания фильтра, Т — длина отрезка интегрирования.