12.2. Обнаружение периодического сигнала с известным периодом на фоне шума

Основы метода.

Итак, предположим, что основной период сигнала известен. Рассмотрим взаимную корреляцию сигнала с вспомогательным сигналом основной период которого также равен :

или

Так как функции независимы, то функция равна нулю (с точностью до погрешности оценки), следовательно,

Взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с одинаковым основным периодом будет также периодической с тем же основным периодом. Отметим, что функция центрирована и имеет период (никакие другие условия на нее не налагаются). Таким образом, имеется большая свобода выбора для ее построения можно исходить, например, из автокорреляционной функции для

Метод обнаружения сигнала с помощью взаимной корреляции имеет ряд достоинств. Например, соотношение (12.3) содержит функцию стремящуюся к нулю с возрастанием но отличную от нуля в начальный момент времени. Функция не входит в соотношение (12.30), благодаря чему можно проводить измерения при малых значениях т. В выражении (12.3) содержатся три слагаемых, порождающих ошибку: тогда как в выражении (12.30) имеется только одно слагаемое Можно ожидать, что этот метод даст большое увеличение отношения сигнал/шум по

сравнению с автокорреляционным методом. К сожалению, довольно часто мы не знаем достаточно точно значение периода функции

Увеличение отношения сигнал/шум при обнаружении периодического сигнала на фоне шума методом измерения его взаимной корреляции с периодическим сигналом той же частоты.

Для упрощения выкладок допустим, что оба периодических сигнала являются монохроматическими. Пусть

где по предположению b(t) - стационарный процесс 2-го порядка со спектральной плотностью . Рассмотрим взаимную корреляцию с периодическим сигналом имеющим период . Одна из взаимных корреляционных функций определяется соотношением

Аналогично определяется другая функция:

Свойство не обязательно выполняется для оценок:

или в более подробной записи:

Положим

где — взаимные корреляционные функции двух периодических сигналов. Отметим, что в выражении для сигнал частоты запаздывает по отношению к сигналу частоты , а в выражении для запаздывающим является сигнал частоты . Величины представляют собой взаимные корреляционные функции шума и периодического сигнала.

Рассмотрим сначала взаимные корреляционные функции Вычислим интеграл

После простых, но громоздких тригонометрических преобразований находим

Это выражение можно записать в виде

где

Аналогичным образом находим где находятся из и перестановкой

Очевидно, что и обращаются в нуль при условии Таким образом, - периодические функции с частотами соответственно.

Если то амплитуды стремятся нулю при стремлении Т к бесконечности. Если же , то

и при . Этот результат получается также при

Найдем теперь взаимную корреляционную функцию

Имеем

Если функция не равна тождественно нулю, то она периодична (с частотой ), где . Это следует из тождества

которое становится очевидным, если учесть, что

Необходимо отметить, что нами доказана периодичность оценки взаимной корреляционной функции шума и периодического сигнала частоты а также периодичность взаимной корреляционной функции двух периодических сигналов на любом временном промежутке (кроме промежутка, длина которого кратна обоим периодам). Подобный результат не мог быть предсказан заранее.

Найдем

где

Полученное выражение является периодической функцией периода оно обращается в нуль, если . Само собой разумеется, что если . Найдем

Выкладки, аналогичные проделанным в предыдущем разделе, приводят к следующему результату:

В предположении, что — центрированный сигнал, а Т велико по сравнению с получим

или

Делая те же допущения, что и в предыдущем разделе, найдем

Отношения сигнал/шум до вычисления корреляции и после вычисления равны соответственно и

Усиление отношения сигнал/шум по мощности равно

а усиление по амплитуде

Напомним, что увеличение отношения сигнал/шум является случайной величиной. Вероятность того, что эти величины примут значения, определенные полученными формулами, равна

Заключение.

Из приведенного исследования взаимной корреляционной функции, полученной интегрированием по промежутку конечной длины, нельзя сделать никаких выводов о существовании периодического сигнала. В самом деле, корреляционная функция (на конечном промежутке интегрирования) периодична (выражения (12.37) и (12.38)), но это, однако, не означает присутствия периодического сигнала. Чтобы извлечь подобную информацию, необходимо знать временную эволюцию взаимной корреляционной функции. Если амплитуда ее периодической компоненты уменьшается с ростом Т, то можно считать, что сигнал не содержит периодической составляющей. В противном случае можно предполагать наличие такой составляющей. Кроме того, в любом случае представляет интерес измерение дисперсии и исследование ее эволюции во времени. Нельзя ограничиваться только нахождением корреляционной функции. Нужно обязательно определять зависимость оценки корреляционной функции от времени и одновременно с этим вычислять ее дисперсию.

Замечание 1.

При нахождении достаточно простых формул для погрешностей оценок делают ряд упрощающих допущений. Однако не следует переоценивать полученные при этом выражения: к ним надо относиться как оценкам порядка соответствующих величин. Более предпочтительно проводить непосредственные оценки дисперсий, что современная вычислительная техника позволяет делать сравнительно легко.

Замечание 2.

Как показано в разд. 9.8, для оценки усиления целесообразно использовать произведение ВТ, а не объем N выборки при дискретизации.