13.8. Дискретное преобразование Фурье и измерение спектральных плотностей [2, 6, 7]

Сигналы с конечной энергией (и малым значением ВТ).

В данном случае фурье-образы сигналов существуют и спектральные плотности находятся непосредственно из соответствующих преобразований Фурье:

Здесь предполагается, что можно найти фурье-образ любого сигнала однако при современном уровне аппаратуры это не всегда можно сделать. Мы в состоянии определить фурье-образ лишь коротких сигналов, т. е. сигналов, определяемых небольшим числом точек (обычно не больше 4096), т. е. произведение много меньше 2048. Действительно, если частота дискретизации, то при следовательно, верхняя граница В спектра связана с соотношением Отсюда Так как а всегда больше 1, а нередко много больше 1, то произведение невелико.

Когда мы на практике используем численный расчет, то в блок вычислительного устройства помещаем слов закодированного сигнала. Если Те — период дискретизации, то может показаться, что длина этих слов равна длине сигнала, однако не очевидно, что произведение совпадает с длительностью сигнала до его кодирования. Действительно, пусть — группа слов сигнала длина которой тогда

Хотя спектр ограничен, тем не менее из-за множителя спектр имеет бесконечную протяженность. Поэтому теоретически невозможно дискретизировать усеченный сигнал.

Как же поступают при отыскании фурье-образа слов, находящихся в блоке вычислительного устройства? Рассмотрим последовательных дискретных значений сигнала дискретизованного с частотой Фурье-образ этой группы из слов определяется формулой

По определению данному в теореме Шеннона, частоты,

большие не дают существенного вклада в спектр и мы их не учитываем, принимая для Итак, для Но поскольку служит фурье-образом функции то является фурье-образом функции

Поэтому

или

Таким образом, является фурье-образом сигнала , который определен выражением

Так как носитель функции не ограничен, то из полученного выражения следует, что носитель сигнала также не ограничен, т. е. его длительность бесконечна. Это означает, что не может быть частью длины ограниченного по длительности сигнала

В работе [8] показано, что среднеквадратичное отклонение разности равно по порядку величины где В — протяженность спектра сигнала для положительных частот. Если то так что среднеквадратичное отклонение

Таким образом, этой ошибкой не всегда можно пренебречь; если положить, например, , а частоту дискретизации увеличить в 5 раз, то . Следует отметить, что это среднеквадратичное отклонение не оценивает наибольшее значение разности функций

Случайные стационарные сигналы и сигналы с большим значением ВТ.

Среднее значение . Рассмотрим случайный стационарный двумерный процесс обладающий свойством эргодичности. Пусть — какая-нибудь реализация

этого процесса. Выделим временной участок длительностью 0 реализации

или

Вычислим математическое ожидание величины

Следовательно, «среднее» значение по участкам равно среднему значению по реализациям при этом предполагается, что число участков бесконечно велико. Вследствие эргодичности процесса среднее значение можно найти, производя усреднение по последовательным участкам одной и той же реализации

Дисперсия Имеем

Учитывая, что

найдем

или

Спектральная плотность. 1. Среднее значение фурье-образов. Пусть . Очевидно, что участок конечной длительности всегда имеет фурье-образ:

так что

Меняя порядок операций усреднения и суммирования (в

предположении, что выполняются условия квадратичной сходимости), получим

Итак, если реализация — центрированная функция, то среднее значение фурье-образов функций равно нулю. Если среднее значение отлично от нуля, то среднее значение фурье-образов равно функции (центрированной в нуле) с множителем

2. Среднее значение квадратов модулей фурье-образов. По определению имеем

Меняя порядок операций усреднения и интегрирования, получим

Но является автокорреляционной функцией

поэтому

При

Положим тогда

Запишем полученное соотношение в виде

Свертка двух одинаковых прямоугольных функций шириной 9 дает треугольную функцию шириной (см. разд. 2.14):

Следовательно,

или .

В итоге получаем

Итак, среднее значение последовательности спектральных плотностей участков длительностью (вследствие предположения об эргодичности процесса можно считать, что они принадлежат одной и той же реализации) равно свертке истинной спектральной плотности и функции

Рис. 13.19.

Соотношение (13.14) дает также представление о ширине эквивалентного фильтра, форма которого не прямоугольная, а описывается функцией (рис. 13.19). Обычно полагают, что эквивалентный фильтр — прямоугольный, и его ширина равна

Очевидно, что результат

применим лишь при

Примечание. Если мало меняется в интервале

Отсюда

Естественно, что всякий раз, когда выполняется какая-либо оценка, необходимо иметь представление о погрешности этой оценки. С этой целью вычислим дисперсию Имеем

Выражение для записывается в виде

Чтобы вычислить моменты 4-го порядка, сделаем упрощающее предположение: допустим, что сигнал имеет гауссово распределение. Тогда можно найти моменты любого порядка, исходя из моментов 1-го и 2-го порядков. Вычисления дают следующий результат:

где — число участков, по которым производится усреднение спектральных плотностей.

Здесь предполагается, что участки не коррелированы. Подобное допущение можно считать верным благодаря тому, что современные системы дают возможность выбора длительности этих участков.

Так как длительность каждого участка равна 0, то полная продолжительность сигнала поэтому

Поскольку является шириной полосы пропускания эквивалентного фильтра, получаем хорошо известную формулу

Дискретизация.

Как показано в гл. 7, дискретизация временных сигналов должна осуществляться в соответствии с теоремой Шеннона. Аналогичная задача возникает при дискретизации спектра. При вычислении спектральных плотностей с помощью дискретного преобразования Фурье ширина полосы сигнала, которую можно обработать в реальное время, будет тем больше, чем быстрее вычисляется фурье-образ. Кроме того, точность анализа тем выше, чем больше длительность участков сигнала. А так как то, очевидно, точность анализа возрастает с уменьшением частоты дискретизации временного сигнала, что находится в соответствии с теоремой Шеннона. Скорость вычисления фурье-образа зависит от числа точек, в которых определяются его значения. Поэтому для ускорения обработки сигнала желательно брать возможно меньшее число таких точек, руководствуясь при этом теоремой Шеннона.

Допустим, что взято точек сигнала. Тогда, согласно алгоритму быстрого преобразования Фурье, нужно определить значения спектра в точках полосы или вследствие симметрии — в точках полосы . Пусть частота дискретизации сигнала равна Тогда при и мы находим

Следовательно, ширина полосы, на которую нужно настроить аппаратуру, составляет

Можно ли утверждать, что дискретизация спектра сделана корректно? Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой Шеннона. Пусть — спектральная плотность, которую нужно рассчитать. Применяя преобразование Фурье к соотношению

получим

Если для где то нужно выбрать шаг дискретизации пли

Таким образом, величина или число слов, вводимых в вычислительное устройство, зависит от ширины спектра и

«ширины» корреляционной функции сигнала. Если значение неизвестно и мы лишь знаем, что при то Следовательно, при

В этом предельном (и, безусловно, реальном) случае нужно осуществить дополнительную дискретизацию временного сигнала, увеличив частоту по меньшей мере в 2 раза. Кроме того, не следует забывать, что речь идет об определении спектральной плотности [см. выражения (13.3) и (13.14)].

Визуализация спектра.

Очень часто возникает потребность «начертить» спектральную плотность в виде графика, чтобы «видеть» спектр. Однако следует помнить, что наш глаз — весьма несовершенный интерполятор (в основном 1-го порядка) и не способен выполнить интерполяцию Шеннона. Мы видели, что наибольшая точность анализа получается, если осуществить дискретизацию сигнала с частотой Шеннона, т. е. если брать коэффициент а как можно ближе к 1. В этом случае соответствующая дискретизация спектра оказывается такой, что коэффициент а также близок к 1. При таких условиях невозможно выполнить визуально качественную интерполяцию спектра, которая была бы близка к интерполяции Шеннона, т. е.

Рис. 13.20. (см. скан)

Рис. 13.21. W — число дискретных значений сигнала; — число дискретных значений спектра. (см. скан)

соответствующая интерполяционная функция была бы равна

Без этой достаточно сложной интерполяции мы рискуем получить неправильное представление о форме спектра (рис. 13.20), а в более простых случаях — неверное представление о локализации спектральных линий (рис. 13.21). Правильная визуальная оценка опектра возможна лишь при увеличении числа рассчитываемых точек спектра по сравнению с числом дискретных значений участка сигнала. Следует отметить, что быстрое преобразование Фурье (БПФ) не решает эту задачу. Действительно, если сигнал дискретизован с частотой и содержит дискретных значений (слов), то применение БПФ дает значений (слов) спектра (в области положительных частот) с шагом дискретизации

Таким образом, для визуальной оценки спектральной плотности энергии следует использовать интерполятор либо рассчитывать больше точек спектра (в 4, 8, 16 раз) по сравнению с числом дискретных значений сигнала.

Увеличение частоты дискретизации временного сигнала не дает положительного результата из-за снижения точности анализа, так как растет с ростом а. Наряду с этим при увеличении частоты дискретизации временного сигнала нужно уменьшить длительность 0 его участка, ибо число слов в вычислительном устройстве в общем постоянно, а это приводит к росту ошибки.

Измерение взаимных спектральных плотностей (взаимных спектров).

Рассмотрим сигналы Для каждого участка находим

Затем определяем спектральные плотности

и аналогично а также взаимные спектральные плотности

где

и аналогично