14.7. Первое семейство временных весовых окон

(Коррелограмма. Преобразование Фурье)

Естественное временное окно.

Такому окну соответствует спектральное окно

В табл. 14.1 и 14.2 указаны некоторые характеристики временных и спектральных окон этого типа.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Продолжение (см. скан)

Временное окно Бартлетта.

Первая коррекция в расчетах спектра принадлежит Бартлетту [2, 5] (1950 г.). Она состоит в умножении на треугольную функцию

Эту функцию можно записать в виде

где — прямоугольная функция шириной -Функции соответствует спектральное окно

В табл. 14.2 приведены некоторые параметры функции Отметим следующие отличия от наибольшая высота в 2 раза меньше; расстояние между первым нулем и абсциссой, соответствующей максимуму, в 2 раза больше; уменьшение первых выбросов (все они положительны) составляет

Продолжение (см. скан)

Весовое окно Парзена.

Этой корректирующей функции, введенной Парзеном в 1961 г. [6], соответствует спектральное окно, обладающее только положительными выбросами (сравните с окном Бартлетта) очень малой амплитуды. Временное окно Парзена определяется следующим образом:

Эту функцию можно представить в виде

где — прямоугольная функция шириной — треугольная функция шириной

Функции соответствует спектральное окно

Наибольшие значения равны соответственно 0,75 и 2 (табл. 14.2). Уменьшение первого выброса

(кликните для просмотра скана)

характеризуется отношением Из равенства следует, что ширина центрального пика равна безразмерных единицах).

Весовое окно Хеннинга.

Ван Ханн предложил еще один тип спектрального окна [2], которое носит имя Хеннинга. Корреляционная функция умножается на весовую функцию

Функции соответствует спектральное окно

Это окно довольно часто используется в расчетах спектральной плотности. Его можно применить к функции образуя произведение преобразование Фурье которого дает сглаженный спектр мощности или к функции по формуле

По сравнению с графиком график в 2 раза более «плоский». Уменьшение 1-го положительного выброса определяется отношением

Весовое окно Хемминга.

Весовая функция Хеннинга была улучшена Хеммингом. Весовое окно Хемминга имеет вид

или

а соответствующее спектральное окно определяется выражением

Как и в предыдущем случае, весовую функцию можно применить как к , образуя произведение так и к :

Весовое окно Блекмана.

Весовое окно Блекмана имеет следующий вид [2]:

Спектральное окно, которое ему соответствует, определяется выражением

Замечание.

Весовые функции Хеннинга, Хемминга и Блекмана являются частными случаями [2] функции

Весовые окна Макса, Фока, Бертье.

В 1968 г. Макс, Фок и Бертье ввели новую весовую функцию. Они руководствовались стремлением удовлетворить в общем противоречивым требованиям: уменьшить выбросы и при этом как можно меньше «сплющить» окно. Функция, которую они применили для коррекции имеет вид

где равна 0 для и 1 для Соответствующее спектральное окно можно записать в виде

где - прямоугольная функция шириной Функция усредняет боковые осцилляции функции в полосе частот . С помощью определяют функцию преобразование Фурье которой дает сглаженный спектр

Первое весовое окно Карре — Руйе.

Чтобы уменьшить боковые выбросы и в то же время сохранить приемлемую разрешающую способность, была предложена следующая весовая функция:

где - временное окно Парзена. Ее можно представить в виде

где - треугольная функция шириной Функции соответствует спектральное окно

где - спектральное окно Парзена, - прямоугольная функция шириной . Так же как и в предыдущем случае, функция усредняет осцилляции в полосе частот

Отметим, что по сравнению с функция имеет в три раза меньшее максимальное значение, не имеет отрицательных выбросов и нулей (имеет только минимумы) и обладает меньшими первыми выбросами:

Второе весовое окно Карре — Руйе.

Исходя из тех же целей была предложена еще одна весовая функция

где — временное окно Бартлетта. Запишем эту функцию в виде

где — треугольная функция шириной Соответствующее функции спектральное окно определяется соотношением

где - спектральное окно Бартлетта, прямоугольная функция с носителем

Отметим, что спектральное окно не имеет ни нулей, ни выбросов и представляет собой положительную убывающую функцию.

Замечание.

Весовые функции Макса, Фока, Бертье и являются частными случаями временного окна

и соответствующего спектрального окна

где - временное окно, равное 0 для —

спектральное окно, равное 0 для Отсюда следует, что может быть прямоугольной функцией (ср. с либо функцией Бартлетта (ср. с ), либо функцией Парзена (ср. с ) и т. д. Аналогично может быть либо прямоугольной функцией (ср. с ), либо треугольной функцией, либо сверткой

Весовые окна в форме кривой Лапласа — Гаусса.

Окно такого типа описывается функцией

где С — величина обрезания кривой Лапласа — Гаусса, измеренная в единицах среднеквадратичного отклонения, — прямоугольная функция. Следовательно, так что

Так как фурье-образы функций равны соответственно

и

то

В табл. 14.2 приведены характеристики спектрального окна для .

Замечание.

Временное окно является частным случаем весовой функции

где значения параметра у лежат в диапазоне Предыдущая функция получается при

Весовое окно Кайзера — Бесселя.

Весовая функция Кайзера — Бесселя, введенная в 1963 г. [8], имеет вид

где — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, параметр изменяется в пределах , — естественное временное окно.

Характеристики спектрального окна для приведены в табл. 14.2.

Другие весовые функции.

Мы приведем еще несколько весовых функций, которые применяются в специальных случаях. Функция

совпадает с функцией Бартлетта при при ее называют параболической или функцией Велыпа. Параболическому временному окну

соответствует спектральное окно

Отметим, что для

Весовое окно

при переходит в окно Хеннинга

Временное окно Папулиса [9] определяется выражением

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Продолжение (см. скан)

Ему соответствует спектральное окно

с высотой пика