7.3. Дискретизация сигналов конечной длительности
Рассмотрим сигнал 
равный нулю вне интервала 
Сигнал 
можно получить из сигнала 
бесконечной продолжительности, умножая его на прямоугольную функцию 
Пусть носителем фурье-образа 
сигнала 
является интервал 
для 
. Тогда
Поскольку носитель функции 
неограничен, носитель функции 
также будет неограничен. Неограниченность носителя функции 
не позволяет провести дискретизацию сигнала 
так как в этом случае частота дискретизации должна быть неограниченно большой. Следовательно, строго говоря, нельзя осуществить дискретизацию сигнала конечной продолжительности. На практике предполагают, что носители функций 
совпадают, т. е. спектры сигналов 
определены в одинаковых областях. Какова величина ошибки, обусловленной таким предположением? Ошибка, вносимая подобной аппроксимацией, оценивалась Шенноном, а также Ландау и Поллаком [5]. Доказано, что для сигнала продолжительностью Г вне интервала 
справедлива формула
Рассмотрим теперь сигнал неограниченной длительности со спектральным носителем 
, неусеченный и корректно дискретизованный.
Взяв только 
импульсов дискретизации, определим функцию
Очевидно, что 
-сигнал неограниченной длительности, поскольку функция 
отлична от нуля вне любого конечного интервала. Поэтому обычно производится усечение функции 
Можно доказать, что среднеквадратичная разность между функциями 
, т. е. ошибка, вносимая усечением, имеет порядок 
или среднеквадратичная ошибка имеет порядок 
Отметим, что среднеквадратичная ошибка является интегральной, а не локальной разностью между 
Отметим также, что если дискретизация проведена с частотой Шеннона 
то число точек 
Если же, как иногда делается с целью более наглядного представления дискретизованного сигнала, частота дискретизации больше частоты Шеннона, то 
Следовательно, чаще всего лучше выбирать 
а не 
Итак, в большинстве случаев можно проводить дискретизацию усеченного сигнала, предполагая, что носитель спектральной функции совпадает с отрезком 
и что 
велико. Ясно, что необходимо проявлять осторожность при интерпретации полученных таким путем результатов.
